Input to state stability

[Sam Mar]

Bonjour,

ce message touche la théorie des systèmes dynamiques, et en particulier
stabilité à entrée à état (Input to state stability ISS). Pour les définitions sur
ces notions : http://www.math.uni-bayreuth.de/~lgruene/iss-stuttgart04/

On considère un système couplé suivant :
x1(t) = f1(x1(t))
x2(t) = f2(x2(t), x1(t))
avec x1 globalement asymptotiquement stable (GAS)
et x2 stable pour l'entrée à état.
Alors on obtient x2 globalement asymptotiquement stable.

Bien. Ceci s'applique pour les systèmes possédant un point d'équilibre.

Voici ma question : j'ai le même système d'équations. Par contre, j'ai non
pas un point d'équilibre mais une sphère de points d'équilibre.
(j'ai réussi à montrer la stabilité de x1 grâce au principe de La Salle).
x1(t) = f1(x1(t))
x2(t) = f2(x2(t), x1(t))

Je sais aussi que la solution de x2(t) = f2(x2(t), 0) est GAS (aussi une sphère de points d'équilibre).

J'aimerais savoir si je peux adapter le théroème ISS pour non plus un point
d'équilibre mais un ensemble de point d'équilibre.

Connaissez-vous des pistes qui me permettrait d'obtenir x2 GAS ?

Je pense que c'est un peu flou, je peux éclaircir si besoin.