Evdf

[mayele]

Bonsoir tout le monde, voici un exo qui me pose quelques soucis:

Soient E et F 2K-evdf (espaces vectoriels de dimension finie).
Soit W un sev de E.

On pose A= {f € L(E,F) tel que W inclus ds Ker f }

1) Montrer que A est un sevdf de L(E, F)
La j'ai dit que A est forcément inclus ds L(E,F) évident car Ker f est un sev de E.
Ensuite pour la stabilité ds Aje vois pas trop comment partir parce qu'on a pas d'autre indication sur W ?

2°) Soit h: L(E,F)-->L(W, F)
f-->f(restreint à W)

Montrer que h est une application linéaire surjective.

Là je me suis dit qu'il faut une fonction g€ L(W,F), et trouver un supplémentaire de W ds E pour construire un antécedent de g ??

Merci de votre aide

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

1)Attention c'est un peu bancal ce que tu dis
Effectivement c'est un sous-ensemble de L(E,F) par définition même, pas pour les raisons que tu exposes.

F est non vide : Il contient l'application linéaire nulle

Montrons que si f et g sont dans A et que si a est un scalaire de K alors af+g est dans A.

Qu'est-ce qu'il faut vérifier? Il faut vérifier que W est inclu Ker(af+g)

Soit x dans W.
On sait que W est inclu dans Ker(f) et Ker(g)
on en déduit que f(x)=0 et g(x)=0 d'où (af+g)(x)=0 donc x est dans Ker(af+g). Par conséquent W est inclu dans Ker(af+g) ce qui prouve la stabilité.

[Nightmare]

2°) pas besoin de s'ennuyer.

Pour la linéarité pas de problème je pense.
Maintenant comment montrer qu'une application linéaire est surjective? Il suffit de montrer que Im h = L(W,F). Je pense que tu peux y arriver :lol3: