Un peu d'analyse complexe ...

[Elvis]

Bonsoir,

Je profite des derniers moments avant que tout le monde ne s'endorme ...
J'ai besoin d'un petit coup de main pour un exercice. Le voici :

Montrer que si f est une fonction analytique sur un ouvert connexe U et s'il existe un point z(0) dans U où f et toutes les dérivées de f s'annulent, f est identiquement nulle sur U.

Merci d'avance et bonne nuit !

[alavacommejetepousse]

bonsoir

f est dse localement en z0 le dse étant celui de taylor donc f est nulle localement et est nulle globalement par le principe des zéros isolés.

[Elvis]

Pour conclure, je pense que tu utilises la propriété suivante (que j'ai pas compris bien évidement !)
Il était dit dans mon cours :
si deux fonctions f et g coïncident sur une partie E d'un ouvert connexe U, qui possède un point d'accumulation dans U, alors elles coïncident sur U.
Et cette propriété nous a servi a dire que si une fonction analytique est nulle sur un tout petit ouvert contenu dans U, elle est nulle sur U tout entier.
J'ai l'impression que tu utilises cette propriété... Est-ce qu'il serait possible d'avoir plus d'explications ?
Merci pour les efforts !

[alavacommejetepousse]

oui j'utilise ceci

[Elvis]

Et est-ce qu'il serait possible de m'expliquer la conséquence qu'on tire de la propriété, parce que je ne comprend pas comment on la déduit (je mets ça sur le compte de l'heure tardive ...)

[alavacommejetepousse]

quelle est la propriété ? quelle est la conséquence?

dis moi ce que tu comprends (sais) et ce que tu n'arrives à déduire

[Elvis]

Ce que je ne comprend pas c'est la conséquence (c'est bon pour la propriété).
En fait, si je veux appliquer la propriété, je suppose que f est analytique et g = 0 la fonction identiquement nulle. Et ensuite, je ne vois pas quel ouvert considérer ...

[alavacommejetepousse]

énonce clairement la conséquence ce n'est pas explicite

[Elvis]

T'as raison, je vais faire ça plus clairement.
Alors, la propriété :
si deux fonctions analytiques f et g coïncident sur une partie E d'un ouvert connexe U, qui possède un point d'accumulation dans U, alors elles coïncident sur U.

Conséquence : (cas particulier)
Si une fonction analytique est nulle sur un tout petit ouvert contenu dans U, elle est nulle sur U tout entier.

Et ce que je ne comprend pas, c'est comment en déduire la conséquence...

[alavacommejetepousse]

un ouvert E non vide a t il un point d 'accumulation ?

[Elvis]

Ben j'aurais dit qu'il peut en avoir plusieurs (mais je sais pas trop si c'est possible ...)

[alavacommejetepousse]

un seul suffit non d'après la propriété

(tout point d'un ouvert est point d'accumulation , relis donc la définition )

[Elvis]

Ok, c'est bon, ma lanterne est éclairée ...
Merci bien pour l'aide (et la patience !)