Exo des Polynomes

[Chuck Nurris]

bonsoir, au cours de ma revision des polynomes je suis tombe sur quelques exos que je n'arrive pas resoudre. je vous pose deux d'entre eux qui m'ont donné du fil a retordre :

Exo 1 :
Effectuer la division euclidienne de P(x) sur B(x) avec :
P(X) = (X^n)sin(alpha) + Xsin(alpha) + sin((n-1)alpha)
B(X) = X^2 - 2Xcos(alpha) + 1

Exo 2 :
Soit a un reel, m et n des entiers naturels. Calculer dans R[X] le P.G.C.D de (X^n)-(a^n) et (X^m)-(a^m)

merci d'avance

[Elvix]

Pour le premier,
B(X)=(X-exp(i*alpha))(X-exp(-i*alpha))
Ses deux racines sont donc exp(i*alpha) et exp(-i*alpha)

Je ne crois pas que ces deux complexes soient racines de P...
donc B ne divise pas P

ou alors je me trompe qquepart...

[ThSQ]

1- Y'a clairement des cas où B divise P.

Tu peux écrire P = Q*B + a*X+b et chercher a et b en prenant des valeurs de X ad-hoc


2- Euclide est ton ami.




(se ramener à a=1, si a != 0, peut simplifier un peu d'ailleurs)

[tomlette]

Comment démontre-t'on que pgcd((X^n)-1,(X^m)-1)=(X^pgcd(n,m))-1 ??

[ThSQ]

Faire comme pour l'algo d'Euclide avec les entiers.

Si on veut une solution non purement algébrique et qui marche que dans IR[X]/C[X] on peut aussi regarder les racines de l'unité (c'est très moche par contre :triste: ).