Suites3

[toto50]

Bonjour,


Merci de m'aider à faire cet exercice, car je n'y arrive pas. Et çà fait 15 ans que je n'ai pas fait de maths. Merci de répondre à toutes les questions en justifiant les réponses, en faisant référence au cours.



Soient (An)n et (An)n deux suites de nombres réels positifs définies par A0>0, B0>0 et pour tout entier n.

On a A n+1 =( An + Bn ) / 2
et B n+1 = racine carrée de ( An * Bn )

1) Montrer que pour tout entier n > ou égale à 1

* On a 0 < Bn et

* A n+1 - B n+1 < ( An - Bn ) / 2

2) EN déduire que les suites An et Bn sont convergentes et ont une même limite notée L (A0, B0)

3) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a alors les égalités :

L(An,Bn) = L(A0,B0), L(A0,B0) = L(B0,A0)


Merci de votre aide.

[Chimerade]

Bonjour,


Merci de m'aider à faire cet exercice, car je n'y arrive pas. Et çà fait 15 ans que je n'ai pas fait de maths. Merci de répondre à toutes les questions en justifiant les réponses, en faisant référence au cours.



Soient (An)n et (An)n deux suites de nombres réels positifs définies par A0>0, B0>0 et pour tout entier n.

On a A n+1 =( An + Bn ) / 2
et B n+1 = racine carrée de ( An * Bn )

1) Montrer que pour tout entier n > ou égale à 1

* On a 0 < Bn <ou égal B n+1 < ou égal à A n+1 < ou égal à A n
et

* A n+1 - B n+1 < ( An - Bn ) / 2

2) EN déduire que les suites An et Bn sont convergentes et ont une même limite notée L (A0, B0)

3) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a alors les égalités :

L(An,Bn) = L(A0,B0), L(A0,B0) = L(B0,A0)


Merci de votre aide.

peuvent être dans n'importe quel ordre. Cependant à partir de n=1 on a
En effet :


Le deuxième point est que moyenne arithmétique de et est nécessairement située entre et , de même que la moyenne géométrique

Il en résulte que, bien qu'il soit possible que , rien n'empêchant a priori d'être plus petit que , à partir de l'indice suivant on aura :



puis



Reprenons l'expresison de ci-dessus :




Le reste est tout-à-fait évident !