Pb d'identification...

[lonelywolf]

Bonsoir,

DM de 2ème annnée de prépa HEC option S sur les intégrales impropres, limites etc


abréviations et hypothèses:
int(0,1) = intégrale de 0 à 1
j>=0

fj(x) = 1 / rac( (1-x)(1+ jx) )
In = int(0,1) de (x^n * fj(x)) dx


QUESTIONS :
1/ on veut calculer I0(j) et I1(j) pour j>0.

soit y = rac( (1-x)(1+ jx) ) pour 0<=x<=1

montrer que x et y vérifient une equa de la forme : (x-xo)^2 /A + y^2/B = 1 avec xo réel, A et B réels positifs non nuls constantes qu'on calculera en FONCTION DE j


MA REPONSE :

Dans (x-xo)^2 /A + y^2/B = 1 , j'ai isolé y^2 et j'ai élevé au carré : y = rac( (1-x)(1+ jx) ) et puis j'ai procédé par identification... sauf que je trouve j = 1, B=1, A=-1 et xo=0 alors que normalement, je pense qu'il faut que je discute en fonction de j et en + je crois que c'est faut... qqn pourrait m'aider?



merci beaucoup!!!

[yos]

'soir.
Pars plutôt de qui donne puis qu'on met ensuite sous la forme voulue.
Utilise la forme canonique pour .

[lonelywolf]

ok pour la forme canonique mais je suis a nouveau bloqué :
ca me donne :

j( x + (1-j)/2j ) ^2 - (1-j)^2 /4j + y^2 = 1

mais du coup, pour l'identification de 1/B^2, je ne sais pas cmt faire puisqu'on ne peut pas factoriser "(1-j)^2 /4j + y^2" par y^2... à moins de résoudre (1-j)^2 /4j = 0?

si c'est ca, j'ai uniquement qch qd j = 1 :
=> B =1 et A =1/rac(j) et xo = (1-j)/2j
juste?


merci.

[yos]

.

donc

.
.

Puis on divise les deux membres par .

[lonelywolf]

je trouve A = 2j / (1+j)
xo = (j-1)/2j
B = 2rac(j) / (1+j)



QUESTION SUIVANTE :

I0(j) = int(1,0) de 1 / rac( (1-x)(1+jx) )

avec chgt de variable x = xo + Acost, calculer I0(j) en fonction de j et arccos.


je trouve : x = xo + Acost
dx = -Asint dt
les bornes :
x=1 donne (-xo+1)/A = cost d'où t=arccos( 1-xo / A)
x=0 donne t=arccos(-xo/A)

mais qd j'ai la nouvelle expression de I0(j), je ne sais pas cmt le calculer. J'ai essayé une integration par parties mais je n'abouti pas... merci encore