Petite demonstration

[Iceman59]

Bonsoir :zen:
je bloque sur un exo que mon prof de maths m'a donné a faire.
le voici :

Soient a et b deux réels strictement positifs tels que aOn pose x = (a+b)/2 , y=racine de ab , z= (2ab)/a+b.

1) démontrer que x< ou égal b
2) calculer x²-y². En deduire que y< ou égal x.
3)Prouver que y²-z² = [ab(a-b)²]/(a+b)². En deduire que z< ou égal y.
4) Démontrer que a< ou égal z

Voila jespere ne pas mettre trompé en recopiant l'énoncé .
Je vous remercie de mapporter un petit coup de pouce je sais pas du tout par quoi commencer :briques: ( je suis pas une lumiere non plus faut dire :--: )

Merci !!! ;)

[pianozik]

pour ta première question, le fait que a

[Iceman59]

sa donne pour le 1)on sait que a
a
a+b<2b

(a+b)/2
Mais (a+b)/2, c'est x, donc x
2) il faut x²-y² , jarrive pas a le calculer celui la , faut faire une identité remarquable ?

Merci !

[Iceman59]

Je viens de faire le 3)

Il ne me reste plus qu'une petite indication pour le 2) et de l'aide pour le 4) ! :help:


Merci !

[LN1]

pour la 2)
développe tranquillement x²
pour y², remplace par ab
puis réduis au même dénominateur dans x² - y²

pour la 4) calcule tout simplement z - a (avec réduction au même dénominateur, puis factorisation par a, puis étude de signe (n'oublie pas que b - a > 0 car b > a

[Iceman59]

Pour le 2) jai fait

[(a+b)/2]² - racine ab ²
(a²+b²)/4 -ab
(a²+b²)/4 - (4ab)/4

je fais quoi apres ? je seche :mur:

[LN1]

tu recommences ton développement
(a + b)² est une identité remarquable

[Iceman59]

Au résultat j'ai trouvé : x²-y²=[(a-b)/2]²

[LN1]

:++: donc tu en connais le signe et tu peux comparer x² et y² puis x et y

[Iceman59]

Pour le raisonnement je dois avouer que je sais pas le faire :briques:
Un p'tit coup de pouce ? :we:

[LN1]

x² - y² est un carré donc il est positif
x² - y² > 0
x² > y²
x > y car les nombres sont tous positifs

rem : remplace par des inégalités larges

[Iceman59]

x² - y² est un carré donc il est positif
x² - y² > 0
x² > y²
x > y car les nombres sont tous positifs

rem : remplace par des inégalités larges

Merci beaucoup , c'est sympas !