Méthode babylonienne pour lundi

[pinx]

Bonjour,

Soient A et x deux réels strictement positifs.
1ére idée: Pour A pas trop proche de 0 si x est assez voisin de A alors A/x est également assez voisin de A; si x est une valeur approchée de A , A/x en est une autre (pour A pas trop proche de 0)

1°) Démontrer que si x A alors x et A/x encadrent strictement A. Que se passe-t-il si x=A.

On a si A n'est pas trop proche de 0 et si x est une valeur approchée de A différente de A alors x et A/x sont deux valeurs approchées de A qui encadrent A.(*)

2ème idée: Dans les conditions de (*) 1/2(x+A/x), le milieu de l'intervallede bornes x et A/x est également une valeur approchée de A, qui est peu-être meilleure que x.(en tout cas qui est une meilleure valeur approchée de A que la plus mauvaises des deux autres x et A/x)

2°) On suppose que xA. On pose y=1/2(x+A/x)
a) démontrer que y>A
b) démontrer que si x>A alors A/xA.On a donc A/xA. On définit alors la suite (Un) par x Un+1=1/2(Un+A/Un)
Démontrer alors par récurrence que
a) Un>A
b) 0<Un-A<(Uo-A)2n
c) On suppose que A<Uo<A+1. Démontrer qu'alors (Un) converge et déterminer sa limite.

5°) On définit une suite Xn par Xo=2 et nXn+1=1/2(Xn+3/(2Xn))
a) Justifier que (Xn) converge et déterminer sa limite l.
b) Justifier que pour tout n de N Xn+1 est une meilleur valeur approchée de l que ne l'est Xn.

Merci