Trigonometrie

[mdelvaux89]

Bonjour !
Voila le problème posé :

Dans un triangle ABC la hauteur AD est coupée en son milieu H par la hauteur CE.

1) Démontrer que tgB . tgC = 2
2) Sachant que dans tout triangle, on a la relation générale
tgA + tgB + tgC = tgA . tgB . tgC
quelles sont les conditions sur l'angle A pour que la relation tgB . tgC = 2 soit possible ?

Je cherche mais ne trouve pas la réponse ...
C'est une question posée en examen d'entrée d'ingénieur civil.

Merci d'avance

[fibonacci]

bonjour,

pour la 2° question

on a tanA+tanB+tanc=tanA.tanB.tanC=2tanA

tanB+tanC=tanA et tanB.tanC=2

d'où l'équation X²-tanA.X+2 ce qui donne un delta avec tanA .

[mdelvaux89]

Je ne suis pas trop ton développement :help:
D'où sors tu cette équation ? Et quelle(s) condition sur A apporte t elle ?

[oscar]

Bonjour
2)
1°) A+B+C =pi
A+B=pi-C
Tg( A + B) = (tg A + tg B)/(1-tg A tg B) =
Or tg(A +B)= -tg C
Donc ( tg A + tg B) / (1-tgAtgB) = -tg C
et tgA + tg B = -tg C(1 - tg A tg b)
ou tg A + tg B = -tg C +tgAtgBtgC
=>tgA +tgB+tg C = tg A tgBtgC

2°)B+C = pi- A=>tg(B+C) = - tg A
Tg (B+C) = (tg B+tgC)/(1-tgBtgC)
- tg A = ( tg B + tg C)/(1 -tgBtgC)
1- tg B tg C = (tg B + tg C)(-tg A)
-1 + tg Btg C= ( tgB+Tg C) /tg A
tgB tg C = (tgB + tg C) /tg A + 1 = 2 si

tg B + tg C = tg A

Il reste le 1 à considérer



:happy2:

[emdro]

bonjour,

pour la 2° question

on a tanA+tanB+tanc=tanA.tanB.tanC=2tanA

tanB+tanC=tanA et tanB.tanC=2

d'où l'équation X²-tanA.X+2 ce qui donne un delta avec tanA .

Si tu connais la somme S et le produit P de deux nombres, ces deux nombres sont les racines de X²-SX+P=0. (c'est immédiat (X-a)(X-b)=X²-(a+b)X+ab=X-SX+P)
Donc si tu veux avoir des solutions à ton problème, il faut que le discriminant tan²A-8 soit positif, donc que ou

[oscar]

Bonsoir

Le 1° reste à démontrer
Je n' ai pas encore trouvé et toi??

[rene38]

Bonsoir

Le 1° reste à démontrerJe n' ai pas encore trouvé et toi??

D'après une propriété connue, le symétrique K de H (orthocentre de ABC) par rapport à (BC) est sur le cercle circonscrit à ABC.
On peut alors calculer de 2 façons la puissance du point D par rapport à ce cercle et ... aboutir au résultat.

[Enim]

Bonsoir, pour le 1 j'ai essayé le suivant:

donc
est-ce que c'est utile? (sory for the stupied error :mur: )

[rene38]

donc

Il me semble que (sauf cas particulier où AD=2)

[oscar]

Bonjour René et Merci pour tes indicatuons!!

Puisance de D par rapport au cercle circonscrit
Il faut d' abord construire ce cercle.(médiatrices)
Puissance de D par rapport à ce cercle :

P = DB*DC= DA*DK
Or DK = DH= 1/2AD
Donc DB*DC = DA*1/2 AD = 1/2 AD² => AD² = DB*DC
Si je peux me permettre la conclusiion de Emdro

Tg B*tg C = DA²/DB*DC = 2

Je rappelle que tg B = AD//DB( triangle rect. ADB) et tg C = AD/DC
(tr.rect ADC)

[oscar]

Bonjour

Voicii la figure

http://img337.imageshack.us/img337/9096/triangle3yn7.jpg