Bonjour
Si vous pouviez m'aider à résoudre cet exercice
Soit f une fonction dérivable de R vers R
Montrer que :
lim (x->+inf) f '(x) = 0 implique lim (x->+inf) f(x)/x = 0
L'énoncé indique de commencer par démontrer que
lim (x->+inf) f(x+1)-f(x) = 0
ça j'ai réussi mais je n'arrive quand même pas à montrer l'implication
merci d'avance
Acroissement finis
5 messages
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par Nightmare » 03 Mar 2007, 14:00
Bonjour
Soit
fixé.
On sait que
d'où il existe un A strictement positif tel que :
|\le \frac{\epsilon}{2}))
Soit x > A. D'après le TAF , il existe
tel que :
-f(A)}{x-A}=f'(c_{x}))
On a pour tout x > A,
}{x}=\frac{f(x)-f(A)}{x-A}\(1-\frac{A}{x}\)+\frac{f(A)}{x})
On en déduit :
}{x}\|\le \|\frac{f(x)-f(A)}{x-A}\|+\|\frac{f(x)-f(A)}{x-A}\times\frac{A}{x}\|+\frac{|f(A)|}{x}\le \frac{\epsilon}{2}+\frac{1}{x}(\frac{\epsilon}{2} A+|f(A)|))
Comme|)\longrightarrow_{x\to +\infty} 0)
, il existe B > A tel que
|)\le \frac{\epsilon}{2}))
Donc
}{x}\|\le \epsilon))
:happy3:
Soit
On sait que
Soit x > A. D'après le TAF , il existe
On a pour tout x > A,
On en déduit :
Comme
Donc
:happy3:
par hansaplast » 03 Mar 2007, 14:54
Merci pour cette réponse rapide au problème
Et sinon, pour voir la différence, vous auriez une idée de résolution en utilisant la limite de f(x+1)-f(x) nulle?
Et sinon, pour voir la différence, vous auriez une idée de résolution en utilisant la limite de f(x+1)-f(x) nulle?
par aviateurpilot » 03 Mar 2007, 15:19
supposons que =0)
Acroissement finis =>-f(x)=f'(c_x))
donc-f(x)=\lim_{x\to +\infty}f'(c_x)=\lim_{c_x\to +\infty}f'(c_x)=0)
.
donc-f(x)|\le a,)
par suite,-f(x)|\le \bigsum_{i=0}^{k-1}|f(x+i+1)-f(x+i)|\le ka)
.
=>}{x+k}+\frac{f(x)}{x+k}|\le \frac{ka}{x+k}\le a)
donc}{x+k}=0)
.
or n'importe quel nombre
on peux l'ecrire sous la forme 
.
donc}{x}=0.)
Acroissement finis =>
donc
donc
par suite,
=>
donc
or n'importe quel nombre
donc
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