Diagonalisation

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 23:06

Soit s un endomorphisme de E diagonalisable et on suppose que ses valeurs propres sont l1,.........,lr(nb réels distincts)
Est-il toujours vrai que tout vecteur propre de s^2 est aussi vecteur propre de s?Si s^2 est dagonalisable ,s est il diagonalisable dans une meme base?
Je vois pas trop donc merci de votre aide...

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 23:12

1 ) s^2 diagonalisable n'implique pas s diagonalisable

2) si s est diagonalisable

alors s^2 l 'st aussi et les sous espaces propres sont les mêmes donc oui tout vecteur propre de s^2 est un vecteur propre de s dans ce cas.

par **yos** » 14 Jan 2007, 23:14

s(x)=kx donc s²(x)=s(kx)=ks(x)=k²x donc tout vecteur propre de s est vecteur propre de s²?. La réciproque est fausse.
La deuxième question, a-t-on toujours l'hypothèse "s diagonalisable"? Si oui ça marche (prendre une base de vecteurs propres de s). Si non, ça marche pas (prendre la matrice avec des 0 partout sauf en position (1,n) où il y a un 1. Elle est de carré diagonalisable mais elle n'est pas diagonalisable).

par **surf-555** » 15 Jan 2007, 00:01

oui mais le vecteur propre de s^2 est différent du vecteur propre de s?

par **Gary O** » 15 Jan 2007, 07:46

Salut,
c'est un exercice assez classique et tu peux montrer que:
s diagonalisable <=> s^2 diagonalisable et Ker f = Ker f^2. Ca se fait par le théorème de décomposition des noyaux (ou lemme des noyaux) par exemple.

par **fahr451** » 15 Jan 2007, 07:53

On ne demande pas le sens <=

On suppose s diagonalisable; ds une base adaptée la matrice D de s est diagonale donc celle de s^2 est D^2 l'est aussi donc s^2 diagonalisable et les sous espaces propres sont les mêmes.

par **surf-555** » 15 Jan 2007, 17:37

ok merci beaucoup

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