Principe de récurrence sur la suite de Fibonacci

[UnFuturEtud]

Bonjour à tous, j'ai récemment passé un examen d'entrée en ingénieur et j'ai eu un exercice sur la suite de Fibonacci.

J'ai eu tous les points pour l'initialisation de ma suite, cependant j'ai eu 0 pour la partie de la récurrence sans comprendre où j'ai perdu mes points.

Le seul message qui est affiché est "Principe de récurrence mal exprimé".

Est-ce que cela signifie que j'ai un mauvais résonnement mathématique ? Est-ce un manque d'explication ou alors une explication trop brouillonne ?

Je vous invite à consulter mon fichier pour vous donner une idée et vous remercie d'avance pour la réponse.

https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-college-lycee/939247-principe-de-recurence-de-fibonacci.html

[Ben314]

Salut,
Pour moi, les problèmes qu'il y a dans ta prose, c'est :

- Le principe de récurrence, une fois l'amorce faite, ça consiste à montrer que, si la propriété est vrai pour un certain entier, alors elle est aussi vraie pour l'entier suivant.
Le plus souvent, l'entier tel que la propriété est supposé vrai, on le note N et donc il faut en déduire que la propriété est vraie pour l'entier N+1. Des fois, on note l'entier tel que la propriété est supposée vrai, N-1 et dans ce cas, il faut montrer que la propriété est aussi vraie pour N. Le choix qu'on fait concernant les notations n'a évidement aucune incidence sur la justesse de la récurrence.
Sauf que toi, ce que tu écrit, c'est que tu suppose que la propriété est vrai pour un entier N+1. C'est pas très usuel, mais pourquoi pas.... Sauf qu'évidement, dans ce cas, "l'entier suivant", ben c'est N+2 et ce qu'il faudrait que tu montre c'est que la propriété est vrai pour N+2.

- Cette phrase d'initialisation de la récurrence, je la trouve "mal ficelée" : en temps que prof., j'ai trop souvent vu des récurrence rédigée sous la forme "supposons que la propriété soit vrai pour tout N alors . . ." ce qui est évidement totalement idiot. Donc personnellement j'apprécie fortement que la phrase d'initialisation soit très claire concernant le fait que l'hypothèse faite, c'est uniquement que la propriété est vrai pour UN certain entier (avec le mot "UN" écrit en gros pour bien insister !!!) et ce n'est pas trop le cas de ta phrase.
Et, toujours sur cette phrase, il manque aussi la précision de la valeur min. de cet entier (pour lequel on suppose la propriété vrai). Là, par exemple, tu as fait l'initialisation en montrant que c'est O.K. pour N=0 donc il faut que ta partie "récurrence" permette de montrer que "vrai pour 0 => vrai pour 1". Donc, si tu prend comme nombre de départ (ou tu suppose la propriété vrai) N+1, alors il faut absolument que tu précise "avec N supérieur ou égal à -1" . De même, si tu avait pris comme nombre de départ N, il faudrait écrire "avec N supérieur ou égal à 0" et, si tu avait pris comme nombre de départ N-1, il faudrait écrire "avec N supérieur ou égal à 1".

- Dans la suite de ta prose, tu écrit EN PREMIER la formule correspondant à la propriété au rang N+1 qui est celui où tu as supposé la propriété vraie puis tu montre que c'est équivalent à cette même propriété au rang N. Donc si on prend textuellement ce que tu as écrit, ben ça permet de montrer par exemple que, si la propriété est vrai pour N=1000 alors elle va être vraie pour N=999, puis, étant vrai pour 999, elle va être vrai pour 998, etc . . . Çà pourrait être un raisonnement valable si, comme initialisation, tu avait montré que c'était O.K. pour N=1000 et que tu veuille en déduire que c'est aussi vrai pour tout les N<1000. Sauf que c'est pas ça que tu as fait comme initialisation et que c'est pas ça qu'on te demande de montrer . . .

Pour finir, en fait, dans ta prose, LE problème principal, c'est le N+1 que tu as mis dans la première phrase.
Si tu avait écrit que tu supposait que c'était vrai pour N, puis, avant d'écrire la propriété au rang N+1 (qui est celle que tu doit montrer) écrit une phrase du type "on doit donc démontrer que :", ça passerait vu que tu procède par équivalence donc le fait que la dernière égalité de ta prose soit vraie (par hypothèse de récurrence) implique bien que la première est vrai.
Et, contrairement à GG0 sur l'autre site, perso., ça me gène absolument pas qu'on procède comme ça, modulo de bien préciser au début que l'on va "partir de la fin" pour arriver à quelque chose que l'on sait vrai et surtout de bien vérifier qu'on procède par équivalence et pas par implication (*) ce qui demande un peu d'habitude.

En bref, ton N+1 là où on attendrait un N ; le fait de pas préciser la nature de N (positif ? plus grand que -1 ? . . .) plus ton raisonnement du résultat vers l'hypothèse sans avoir écrit en noir sur blanc que tu allait raisonné "à l'envers", ça fait que tu n'a pas convaincu le correcteur . . .

(*) Dans le contre exemple donné par GG0 avec 2=3, le problème c'est pas qu'il à raisonné "à l'envers", le problème, c'est que A=B et C=D ça IMPLIQUE que A+C=B+D, mais évidement ce n'est pas une équivalence donc, (2=3 et 3=2) => (2+3=3+2) mais, très clairement la réciproque est fausse. !!!!

[UnFuturEtud]

Bonjour, merci pour votre réponse.

En ce qui me concerne cela m'arrange de voir mes fautes de deux points de vue différents et je les prends tous les deux en comptes.

Je vous souhaite une bonne fin de journée et je clos le sujet.