Probleme geometrique

[aily]

mes Salut mes cheres amis

voila mon probleme
ABC est un triangle retangle isocele en A
on pose AB=a on note r le rayon du cercle inscrit dans ce triangle et R le rayon de son cercle circonscrit

1)demontrer que r=a/2+V2
2°Calculer la valeur exacte de l'air de la partie coloriés

Merci à l'avance

[aily]

je me demande si il ne faut pas utiliser l'aire d'aprés vous?merci

[yvelines78]

bonjour,

Le triangle ABC est rect en A, le centre du cercle circonscrit est donc le milieu de l'hypoténuse, appelons-le O
calcul de Bc, en utilisant Pythagore
AB²+~C²=BC²
AB=AC=a
a²+a²=BC²=2a²
BC>0, donc BC=V(2a²)=aV2
AO=R=BC/2 =aV2/2

(AO) est la médiane issue de A relative à [BC], c'est puisque ABC est isocèle aussi la hauteur, la bissectrice et la médiatrice

le centre du cercle inscrit est le point de concours des bissectrices, appelons le I, donc I appartient à (AO) bissectrice
IO=r puisque (AO) est aussi hauteur

soit H le projeté de I sur (AB) et K le projeté de I sur (AC), dans AHIK on a :
(AH)//(KI) et (AK)//(IH) + 1 angle droit KAH, donc AHIK est un carré

Pythagore dans AHI rect en H :
KI=IH=IO=r (équidistance des côtés d'1 angle avec les bissectrices)
AH²+HI²=r²+r²=2r²=AI²
AI>0, donc AI=rV2
IO=AO-AI=aV2/2-rV2=r
aV2/2=r+rV2=r(1+V2)
r=(aV2/2)/(1+V2)
r=aV2/2(1+V2)
r=aV2(1-V2)/2(1-v2)(1+v2)
r=(aV2-2a)/2(1-2)
r=(aV2-2a)/-2
r=-aV2/2 +2a/2
r=+a-aV2/2

j'ai peut-être fait une erreur!!!!, es-tu sûr de l'énoncé