La n-ième dérivée

[MaximusvcUcl]

Bonjour à tous/toutes,

Je cherche la norme uniforme sur [0,1] de la n-ième dérivée de la fonction .
Pour ce faire je pensais utiliser le fait que cette fct est équivalente à la série géométrique :

Que faire ensuite ?

Merci !

[mathelot]

Bonjour,
calcule les dérivées puis essaye de démontrer la formule à trouver par récurrence sur l'entier n.
Abandonne la série qui ne donne que des nombres dérivés de f en x=0

[MaximusvcUcl]

Merci pour ta réponse, mais j'ai oublié de préciser que justement la dérivée en x=0 nous intéresse car on cherche la norme uniforme pour

[mathelot]

on peut identifier (égaliser) les deux séries:

et

ce qui donne la formule de

sinon démontrer par récurrence sur l'entier n que

[mathelot]

Merci pour ta réponse, mais j'ai oublié de préciser que justement la dérivée en x=0 nous intéresse car on cherche la norme uniforme pour

Quelle norme uniforme ?

[MaximusvcUcl]

Merci Mathelot pour ta réponse,

Comment tu trouves cette identification ?
Pour la norme uniforme je parle de

[mathelot]

Merci
Comment tu trouves cette identification ?

f est développable en série entière au voisinage de 0 d'une seule manière.
la formule en (-2x)^n vient du développement de la série géométriquede raison (-2x).
la 2eme formule en est sa série de Taylor à l'origine (je crois que c'est la série de Taylor-MacLaurin de f)

quel est le but final de ta question ? que cherches-tu à démontrer ?

[mathelot]

on a donc:

[MaximusvcUcl]

C'est ce que je voulais, merci beaucoup !

[MaximusvcUcl]

Mathelot, peut-être que tu pourras m'aider pour un autre souci du même genre :


Pour

[mathelot]

Mathelot, peut-être que tu pourras m'aider pour un autre souci du même genre :


Pour

soit x un réel,










Il vient


et




En effet, ces sup sont des maxima, atteints pour ou
atteints à l'intérieur de l'intervalle [-2;2].