AB = A+B => rg(A)=rg(B)

[Looooan]

Bonjour,

Soit (A,B) dans M_n(R)², je dois montrer que :
AB = A+B => rg(A)=rg(B)

J'ai remarqué que A et B commutent. D'autre part, j'ai montré que les solutions sont toutes de la forme suivante:

A=I+M et B=I+M^-1, avec M une matrice inversible quelconque. Donc rg(M) = = rg(I) = n

J'ai aussi remarqué que le problème est équivalent à montrer que dim(Ker(A)) = dim(Ker(B))

Tous ceci ne sont que des pistes.

Merci de votre aide,
Bonne soirée,

[GaBuZoMeu]

Bonjour.
Tu as donc A = MB.

[tournesol]

Bonjour ,
B=A(B-I) , donc rang(B)=<inf(rang(A),rang(B-I))=<rang(A)
A=(A-I)B entraine la réciproque .