Dérivés 1èreS

[Rainbow2]

Bonjour, alors voilà j'ai un dm à rendre pour la rentrée mais je suis bloqué aux dernières questions de mon exercice.

Voici l'énoncé:

Considérons la fonction f(x)=x2+3x-1

J'ai démontré que le nombre dérivé f'(a) était de 2a+3 pour tout a.
Puis, j'ai trouvé sa tangente en 1 y=5x-2

Cependant, je n'arrive plus à partir de ces questions:

3a) Existe t il une tangente à la courbe de f, parallèle à la droite y=-2x+v17 (v=racine carré) ?
b) Déterminer alors le point d'intersection entre cette tangente et la courbe

Merci pour votre aide

(Je ne sais pas si mon énoncé a été accepté par le modérateur car je pense ne pas l'avoir mis dans la bonne rubrique la première fois, je ne veux pas faire de multipost)

[Lostounet]

Salut,

Deux droites parallèles ont même coefficient directeur!
Donc y=-2x+V(17) est parallèle à la tangente de coeff directeur f'(a) lorsque -2=f'(a)
Et f'(a)=... (tu dois résoudre une équation en a)

Ps: oui tu n'avais pas posté au bon endroit mais le problème est réglé

[Rainbow2]

Oui, lorsque je résous 2a+3=-2, j'obtiens a= -2,5.

Et là, je ne sais plus quoi faire...

[Lostounet]

Et bien c'est fini!
La tangente à la courbe au point a=-2.5 qui a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a)
Soit y=(-2.5*2 +3)(x-2.5)+f(2.5)= -2x + ....
Est parallèle à la droite y=-2x+V(17) car elles ont même pente

[Rainbow2]

Je trouve y=-2x+17,75 parallèle à y=-2x+V(17) et donc tangente à f ?

Si je trace ces deux droites sur Geogebra, elles sont parallèles mais y=-2x+17,75 n'est pas tangente à f

[Lostounet]

La tangente est
Y=f'(-2.5)(x- (-2.5)) + f(-2.5)

= -2(x+2.5)+f(-2.5)
= -2x -5 + (-2.5)^2+3*(-2.5)-1
= -2x -7.25

Mais c'est une bonne initiative de tracer sur un graphique.

[Rainbow2]

La tangente est
Y=f'(-2.5)(x- (-2.5)) + f(-2.5)

= -2(x+2.5)+f(-2.5)
= -2x -5 + (-2.5)^2+3*(-2.5)-1
= -2x -7.25

Mais c'est une bonne initiative de tracer sur un graphique.

Ah oui, j'avais fait un erreur de calcul! Merci beaucoup!

Pour le point d'intersection, j'égalise les deux expressions ?

[Lostounet]

Oui exactement

[Rainbow2]

Voici ce que ça donne :

-2x+2x= V(17)+7.25

Du coup, s'il n'y a plus de x, je ne sais pas quelle inconnue je trouve ? ^^

[Lostounet]

Qu'est-ce que ça veut dire ça? :p
-2x+2x c'est l'équation de qui...

En fait il faut trouver l'intersection de la courbe et de la tangente y=-2.5x-7.25 !

Je te rappelle que les points de la courbe ont pour coordonnées (x;f(x)) et les points de la tangente (x;-2x-7.25).

Un point d'intersection de la courbe et de la tangente sera donc tel que f(x)=-2x-7.25 (il aurait donc pour un certain x, la même image que ce soit par f ou par y=-2x-7.25)

Ce sont ces deux expressions qu'on doit égaliser...

[Rainbow2]

Qu'est-ce que ça veut dire ça? :p
-2x+2x c'est l'équation de qui...

En fait il faut trouver l'intersection de la courbe et de la tangente y=-2.5x-7.25 !

Je te rappelle que les points de la courbe ont pour coordonnées (x;f(x)) et les points de la tangente (x;-2x-7.25).

Un point d'intersection de la courbe et de la tangente sera donc tel que f(x)=-2x-7.25 (il aurait donc pour un certain x, la même image que ce soit par f ou par y=-2x-7.25)

Ce sont ces deux expressions qu'on doit égaliser...

Excusez moi^^ voilà je suis arrivé là:

x²+5x= -6.25

[Lostounet]

Le but est de trouver x.

C'est une équation du second degré, que tu peux chercher à résoudre avec "delta" (b^2-4ac etc..).
As-tu tenté?

Ou alors tu remarques une identité remarquable!

x²+5x= -6.25
Donc x^2+2*2.5x + 2.5^2 = 0

[Rainbow2]

Oui cela me donne : x1= 0 et x2= -2.5

[Lostounet]

X=0 n'est pas solution de l'équation...

[Rainbow2]

Alors il n'y a qu'une seule solution : -2.5 ?

[Lostounet]

Alors il n'y a qu'une seule solution : -2.5 ?

Pourquoi?
Il faut bien factoriser x^2+5x+6.25 pour résoudre x^2+5x+6.25=0

C'est une identité remarquable

[Rainbow2]

Si on factorise : (x+2.5)²=0

x+2.5=0
x= -2.5

[Lostounet]

Si on factorise : (x+2.5)²=0

x+2.5=0
x= -2.5

Très bien!
Mais en fait, ceci est dû à la propriété des paraboles.
Toute parabole sera au-dessus ou au-dessous de toutes ses tangentes (ici au-dessus, la parabole est "convexe"). Il est donc logique que le seul point d'intersection soit le point de tangence.

[Rainbow2]

D'accord,
En tout cas, merci pour votre aide et votre patience!