Trigonometrie

[SilentMount]

Bonsoir, voila ca fait une et demi heure que je travaille la dessus, et sans resultat. j'ai besoin de votre aide. la question est la suivant :
montrer que cos15+sin15=racine3.(cos15-sin15), et ne deduire la valuer de tan 15


merci

[Pisigma]

Bonsoir,

15°=45°-30°

cos(15°)=....
sin(15°)=

[mathelot]

bonsoir,
pour vérifier les résultats, on a


sais tu développer tan(a+b) ?

[chan79]

salut
une autre piste

[SilentMount]

Merci pour votre reponse
mais j'ai tjr pas compris que faire avec la racine de 3 que j'ai, le transformer en tan60? si oui et puis alors ?

[Lostounet]

Merci pour votre reponse
mais j'ai tjr pas compris que faire avec la racine de 3 que j'ai, le transformer en tan60? si oui et puis alors ?

Il y a plusieurs méthodes. Mais une fois une méthode choisie, on doit s'y tenir et ne pas faire des mélanges...

On peut donc chercher à calculer, comme le fait Chan, et montrer que ce quotient est égal à. Si on fait ça, on aura prouvé que , donc en multipliant les deux membres par (cos(15) - sin(15)) on aurait montré ce qui est demandé.

Maintenant, comment Chan a-t-il procédé ?
; On multiplie numérateur et dénominateur par cos(15) + sin(15):



Au dénominateur on reconnait (a - b)(a + b) donc on développe a^2 - b^2
Au numérateur, on reconnait (a + b)*(a+b) =(a+b)^2 on développe a^2 + 2ab + b^2




On sait que (relation de Pythagore)





On se souvient de la formule trigonométrique additive célèbre: qu'on applique avec x = 15, ce qui donne au numérateur

De même, on se souvient que , donc le dénominateur est égal à cos(30)




Maintenant que ceci est fait, il suffit de remplacer sin(30) et cos(30) par leurs valeurs exactes: ce sont des angles remarquables à lire dans le tableau (ou que tu peux trouver partout)!
En simplifiant cette fraction, on devrait trouver

Maintenant que cela est fait, on a prouvé que
. Pour déduire tan(15), le plus facile est de diviser les deux membres de l'égalité par cos(15):

Donc:

Reconnais-tu la présence de tan(15) dans cette expression?

[Pisigma]

on peut aussi écrire:


....

[pascal16]

cos15+sin15
il y a la technique de l'électronicien :
on fait apparaître deux nombres devant sin et cos dont la somme des carrés vaut 1 :
√2 ( (1/√2) cos15+ (1/√2) sin15)

comme les nombres choisis ont une somme des carré égale à 1, on peut les transformer en sin et cos du même angle.

√2 ( (1/√2) cos15+ (1/√2) sin15)
=√2 ( sin(45)cos15+ (cos(45)sin15)
= √2 ( sin(45+15))
= √2 ( sin(60))
= √3 / √2

[mathelot]

autre méthode avec la tangente

[Black Jack]

Salut,

Pourquoi imposer de passer par Berlin pour aller de Paris à Versailles ?

Sans suivre la voie inutilement compliquée demandée :

sin(30°) = 1/2
cos(30°) = (V3)/2

cos(2a) = 1 - 2.sin²(a)
cos(30°) = 1 - 2.sin²(15°)
(V3)/2 = 1 - 2.sin²(15°)
sin²(15°) = [1 - (V3)/2]/2 = (2 - V3)/4

sin(15°) > 0 (1er quadrant) --> sin(15°) = (1/2) * V(2-V3)

cos²(15°) = 1 - sin²(15°)
cos²(15°) = 1 - (1/4)*(2-V3) = (V3 + 2)/4

cos(15°) > 0 (1er quadrant) --> cos(15°) = (1/2) * V(2 + V3)

tan(15°) = sin(15°)/cos(15°) = V(2-V3)/V(2 + V3) = V[(2-V3)/(2+V3)] = V[(2-V3)²/((2-V3).(2+V3))] = (2 - V3)(4-3) = 2 - V3

tan(15°) = 2 - V3

[Pisigma]

salut Black Jack,

je trouve qu'on pouvait aussi calculer les valeurs de cos(15) et sin(15) par différence d'angles ,

prouver que l'égalité était vraie et ensuite calculer tan(15) comme demandé

[SilentMount]

Merci a vous , j'ai reussi l'exercice, grace a vous biensur

[chan79]

encore une façon pour obtenir directement tan(15)
tan(30)=2*tan(15)/(1-tan²(15))
en posant x = tan(15)
on a à résoudre

SilentMount n'a que l'embarras du choix

[Black Jack]

Salut,

Je suis d'accord avec Pisigma et Chan, il y a diverses méthodes pour calculer tan(15°).

Je suis "ennuyé" lorsqu'un énoncé impose une méthode au lieu de laisser l'étudiant se débrouiller à trouver un chemin seul ... et encore plus "ennuyé" lorsque la méthode imposée est "tordue".

[nodgim]

Le problème dans l'énoncé est qu'on ne dit pas que 15 est exprimé en degrés....