étude de fonction

[allison57]

Bonsoir j'aimerai un peu d'aide pour une question qui me donne du fil à retordre
on me demande de déterminer la fonction réelle f dérivable sur IR vérifiant 3f'-2f-5
f(0)=7
et je voit pas comment m'y prendre

merci bien

[infernaleur]

Salut,
tu as vu les équations différentielles ?

[allison57]

oui bien sur

[allison57]

est ce que si je considère que f=y
je peut avoir 3y'-2y-5=0
donc y'-2/3y=0
après je ne voit pas vraiment

[allison57]

j'aurait donc y=LAMBDA1*ExP(-2/3x)

[allison57]

mais je ne comprend pas ce qu'on me demande exactement

[infernaleur]

Rappel :
soit (E) l'équation différentielle :
Pour résoudre (E) on résout d'abord l'équation homogène (c'est-à-dire l'équation sans second membre)
(E0): puis on cherche une solution particulière de (E) (par la méthode de la variation de la constante si on voit pas de solution "évidente").

1/ résolution de l'équation homogène.
On cherche à résoudre y'(t)=a(t)y(t)
Or tu as du voir que les solutions de cette équations sont de la forme où C est une constante et A(t) est une primitive de a(t).

Dans ton cas l'équation homogène est f'(t)=2/3 f(t)
Donc les solutions de cette équation sont de la forme où C constante réelle
(attention au signe dans ton exponentielle)

2/on cherche une solution particulière
Si tu arrives a trouver une solution évidente c'est cool la solution finale est tout simplement la solution de l'équation homogène + la solution particulière que tu as trouvé.
Sinon pour des équations un peu plus chiante pour trouver une solution particulière on utilise la méthode de variation de la constante que tu as du voir en cours, c'est-à-dire qu'on ne considère plus C comme une constante mais on considère maintenant C(t).
Donc tu auras et tu auras juste à remplacer cette expression dans ton équation initiale pour trouver C(t) et tu auras ta solution particulière (attention C n'étant plus une constante la dérivée de C(t) ne fait pas 0 !!!)

Mais dans ton cas pour l'équation différentielle : on peut trouver facilement une solution particulière donc pas besoin de te casser la tête avec la méthode de variation de la constante (mais bon tu peux toujours la faire pour te familiariser avec cette méthode).

[infernaleur]

Et aussi on t'as rajouté que f(0)=7 (on appelle cela une "condition initiale").
Tu as surement vu en cours qu'une équation linéaire d'ordre 1 qui a une condition initiale admet une solution unique (théorème de Cauchy il me semble).
Donc pour trouver cette solution unique, une fois que tu auras résolus ton équation différentielle par la méthode habituelle tu devras utiliser le fait que f(0)=7 pour trouver cette fameuse constante (que tu as appelé lambda) et donc pour trouver l'unique solution de ton équation différentielle.

[allison57]

merci d'avoir pris le temps de me répondre en détail cela m'a bien aidé

[allison57]

ah oui en effet je n'est pas fait le lien avec la méthode de Cauchy