Trigonométrie

[starfir]

j'ai des exercices de mathématique en trigonométrie mais je n'ai pas vue la méthode en cours

les questions sont :
1. Résoudre dans R l'équation cos(4x) = cos(2pi/3)

2. Résoudre dans R l'équation sin(2x+pi/6) = sin(x-pi/4)

merci de votre aide.

[Elias]

Salut,
Si a est un nombre réel, alors les solutions de l'équation :

cos(x)=cos(a) sont les x de la forme x = a+k*2pi avec k dans Z et aussi les x de la forme x = -a + k*2pi avec k dans Z.

Pourquoi ?
Ben ça semble évident que si on cherche des x tels que cos(x) soit égal à cos(a), on peut prendre bien ebtendu x=a mais aussi les a+k*2pi car a et a+k*2pi, c'est le même point sur le cercle trigo.

Mais on se rend compte que le point du cercle trigo associé à -a possède le même cosinus donc x=-a convient aussi et du coup on emporte toutes les solutions de la forme -a+k*2pi

Ça doit te permettre de résoudre la première (c'est 4x que tu trouveras mais en divisant par 4, tu auras l'expression de x).

2)

En refléchissant, à quelle condition a-t-on

sin(x)=sin(a) (avec a réel)?

[starfir]

ok merci de ta réponse mais j'ai pas vraiment compris pour le 2

[Elias]

L'ensemble des solutions de sin(x)=sin(a) est l'ensemble des réels x de la forme x=a+k*2pi avec k dans Z ou x= pi -a + k *2pi avec k dans Z.
On peut le constater sur un cercle trigo.

[starfir]

J'ai trouvé x = pi/6 + k*2pi pour le 1
x = -11pi/6

[Elias]

Non, il faut aussi diviser le 2kpi par 4.

Donc pour la 1), les x qui marchent sont ceux sous la forme x = pi/6 + k * pi/2 avec k dans Z.
Mais il y aussi les x sous la forme x = -pi/6+ k* pi/2 avec k dabs Z

[starfir]

Ah oui d'accord j'ai compris donc ça donne x= pi/6 + k*2pi/4
ou -pi/6 + k*2pi/4

[starfir]

mais du coup pour le 2 j'ai aucune idée de la réponse j'avais trouvé une formule
sin(p)−sin(q)=2 cos((p+q)/2)sin((p−q)2)

[annick]

Bonjour,

pareil : on a sina=sinb si :

a=b+2kpi ou
a= pi-b+2kpi

[starfir]

merci mais du coup est ce que les résultats que j'ai trouvé sont juste ?

[annick]

Ah oui d'accord j'ai compris donc ça donne x= pi/6 + k*2pi/4
ou -pi/6 + k*2pi/4

oui, ce qui donne

x=pi/6+kpi/2 ou -pi/6+kpi/2

Bon, et la 2) ?

[starfir]

La deux j'y arrive pas désolé

[starfir]

j'ai compris la méthode mais j'arrive pas a l'exploiter

[Elias]

sin(2x+pi/6) = sin(x-pi/4) donc 2x+pi/6 = x-pi/4 + k*2pi avec k dans Z ou 2x+pi/6 = pi - (x- pi/4) + k*2pi avec k dans Z.
A partir de là, je pense que tu peux continuer.

[starfir]

mais dans ce cas ma pourquoi est ce qu'on met le k*2pi que du coté droit de l'égalité ?

[Elias]

L'ensemble des solutions de sin(x)=sin(a) est l'ensemble des réels x de la forme x=a+k*2pi avec k dans Z ou x= pi -a + k *2pi avec k dans Z.
On peut le constater sur un cercle trigo.

ou si tu préfères :

Bonjour,

pareil : on a sina=sinb si :

a=b+2kpi ou
a= pi-b+2kpi

[starfir]

j'ai trouvé x = 10pi je pense que c'est faut

[starfir]

j'ai trouvé x = -5pi/12

[Elias]

Bon c'est mieux que 10pi (qui en effet est faux) mais pourquoi oublies tu le +k*2pi tellement essentiel ?

Donc les solutions sont x = -5pi/12+ k * 2pi avec k dans Z.

Il reste aussi à exprimer l'autre groupe de solution.

Essaie de montrer (en résolvant l'autre équation) que le reste des solutions est l'ensemble des x s'écrivant sous la forme x = 13pi/36+ k * (2pi/3) avec k dans Z.

[starfir]

attend mais du coup ce que j'ai trouvé n'est pas juste ?
et je comprend pas quelle autre équation j'ai trouvé les solution de x et j'ai vérifier le résultat avec la calculette et c'est tombé juste désolé mais j'ai pas compris
c'est quoi l'autre groupe de solution ?