Définition d'un sous espace vectoriel unique

[Sed]

Bonjour !
Lors de recherches personnelles, j'ai heurté un problème d'un trop haut niveau et je suis un peu perdu. Pourrais-je avoir votre aide s'il vous plaît ?
(Excusez moi pour la mise en forme médiocre de l'énoncé suivant, je suis sur téléphone et n'arrive pas à insérer de formule LaTeX)
Voici le problème :
Soit N>2 un entier naturel.
On se place dans un espace de dimension finie N muni du repère orthonormé R = (O, e1, e2, ... eN).
La n-ième coordonnée d'un vecteur ou point A sera notée An.
Soient les points S et C de coordonnées connues. On appellera n le vecteur S->C.
Soit P l'hyperplan ayant pour norme n et passant par C, d'équation cartésienne connue.
Je cherche à trouver une façon de définir de façon unique un ensemble de vecteurs, chacun orthogonal à tous les autres, de manière à munir l'hyperplan P d'un repère R' orthonormé.
Autrement dit, je voudrais pouvoir donner les coordonnées dans R du i-ième vecteur unitaire de R', mais il y a plusieurs inclinaisons possible de ce nouveau repère, et je n'arrive pas à en privilégier une plutôt qu'une autre, ce qui me semble indispensable pour ensuite définir tous les repères orthonormés décrivant P, par rotations de R'.
Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop le fond de la question : quand tu te place dans l'espace ambiant (de dimension 3), même s'il est muni d'un repère orthonormé direct donné , c'est par pour ça que ça te définit "naturellement" un repère d'un plan quelconque (donné) contenu dans cet espace.
Des repères, le plan il en a des tas au aucun d'eux n'est franchement "privilégié" par rapport aux autres. Et bien évidement, c'est sûrement pas en se lançant dans des calculs que ça va "miraculeusement" faire ressortir une notion de "repère canonique" vu qu'il n'en existe pas de "géométriquement préexistante" : tes calculs ils vont dire exactement la même chose, à savoir qu'il y a des tonnes de solutions et aucune solution "privilégiée".

Sinon, une méthode parmi d'autre pour trouver une base orthonormée de l'hyperplan de vecteur normal n donné, c'est, si par exemple la première coordonnée de n est non nulle, d'utiliser le procédé d'orthogonalisation de Gramm-Schmidt à la base (n,e2,e3,...,eN) qui te donnera (n/||n||,f1,f2,...f{N-1}) où (f1,f2,...f{N-1}) est une b.o.n de l'orthogonal de n.

[Sed]

Merci pour cette réponse,
Mais si on fixe un vecteur dans l'espace par exemple, et qu'on le projette de facon orthogonale sur P, n'y a-t-il pas moyen, en ajoutant des données comme des angles, de faire un repère ?
Effectivement, s'il existe une méthode telle que celle que tu as cité en dernier, il n'y aurait qu'à traiter ce cas (n1 non nul) puis celui de n1 nul ?

Modification : tout compte fait, le cas n1 non nul me suffirait.. je ne suis pas chez moi, j'essaie d'appliquer ça des que je peux, merci

[Ben314]

Je comprend toujours pas quel est le but du jeu : si tu cherche juste UN repère, ben au lieu de chercher à résoudre un système (donnant TOUT les repères), il te suffit de prendre au fur et à mesure des solutions "au pif".
Par exemple si on est dans R^4 et que n=(1,-2,3,1). les vecteurs orthogonaux à n sont les (X1,X2,X3,X4) tels que
(1) : X1 - 2X2 + 3X3 + X4 = 0
On en prend un au pif, par exemple V1=(2,1,0,0). Pour être aussi orthogonal à V2, il faut que :
(2) : 2X1 + X2 = 0
On prend au pif un vecteur vérifiant les deux : V2=(0,0,1,-3). Pour être aussi orthogonal à V2, il faut que :
(3) : X3 - 3X4 = 0
On cherche un vecteur vérifiant les 3 relations, donc tel que X2=-2X1 ; X3=3X4 et X1+4X1+9X4+X4=0 c'est à dire X1+2X4=0. Par exemple V3=(-2,4,3 ,1)
Et pouf, (V1,V2,V3), ça te fait une base orthogonale de ton plan et si tu divise par les normes, ça te donne une base orthonormée.

Bref, je le redit, je vois pas où est le problème : si tu cherche UNE solution, ben tu écrit les truc et chaque fois, ben tu prend au pif UNE des solutions et c'est tout.

[Sed]

En fait il s'agit d'une "camera" dans un espace ND (l'hyperplan P étant l'espace sur lequel on projète) donc il faudrait que je puisse modifier en continu la position du point C et les coordonnées de n, et que le repère R' soit recalculé toujours de la même façon pour que les informations du repères R' ne soient pas "saccadées"... quitte à rajouter un vecteur non colinéaire à n qui indiquerait "le haut de la camera", et qui pourrait aussi changer au fil du temps. Mais ça nous met dans la même situation, déterminer le reste du repère R', qui est de dimension N-2
Ps : j'apprécie l'aide donné

[Sed]

J'ai trouvé une bonne piste mais ça me confronte à un autre problème.
Si je pose n=e1(1,0,0,0...0)
Et que je prend R'=R, et qu'ensuite j'applique des "mini" composées de rotation (qui ne sont pas commutatives il le semble ?) Je peux installer ma caméra C à une position de base puis la faire tourner et appliquer ces rotations aussi à R', pour le garder sur P (faire en sorte que la base de R soit toujours orthogonale à n en lui faisant suivre le mouvement)
Mais du coup comment faire une rotation autours d'un hyperplan N-1D, en ND ? (Au niveau des coordonnées d'un point de la N-sphère centrée en l'origine et de rayon 1, ou des coordonnées d'un vecteur, ça me paraît équivalent)