Diagonalisabilité

[Sharkk]

Bonsoir,
il y a quelque chose que je ne comprends pas bien
On prend une matrice à coefficients entiers relatifs tels que il existe tel que .
Cependant j'ai lu dans une correction d'un exercice que était diagonalisable et ce sans aucune explication. On n'a pas d'autres information.
Mais si on pose le polynôme annulateur et est donc racine de ce polynôme. Mais comme nous sommes à coefficients entiers, les seuls racines de ce polynôme sont (et si pair). Mais je ne vois pas en quoi on peut conclure sur la diagonalisabilité de la matrice étant donné qu'on ne sait pas si le polynôme minimal est scindé à racines simples par exemple.

Merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Si tu précise pas diagonalisable dans quoi (Z, ou Z[i] ou R ou C ou... autre chose), la question n'a pas de sens.
Mais, vu que par exemple est à coeff. entier, telle que et qu'elle n'est diagonalisable ni dans Z, ni même dans R, je suppose qu'il faut comprendre "diagonalisable dans C" (ou Z[i] ou... autre chose..).
Donc quand tu dit que les racine de X^n-1, c'est juste 1 (et éventuellement -1), ben c'est évidement faux : si on cherche à diagonaliser dans C, les racines complexes de X^n-1, c'est les racines n-ièmes de l'unité et y'a évidement pas que 1 (et éventuellement -1).

Quand au fait qu'une matrice telle que A^k=I (à coeff. quelconque) est forcément diagonalisable dans C, c'est complètement évident si on connaît la décomposition de Jordan : un bloc de Jordan B non diagonal ne peut pas vérifier B^k=I.
Et si on connaît pas Jordan, je sais pas quel est l'argument le plus simple pour le montrer, mais en mon avis en raisonnant sur les sous-espaces caractéristiques associés à la matrice, ça doit être assez évident.

[Pseuda]

Bonsoir,

Dans C, A possède un polynôme annulateur () scindé à racines simples. Donc A est diagonalisable.

[Elias]

Salut,

Autre exemple qui marche pas dans R :
Si tu prends A qui vaut
0 1 0
0 0 1
1 0 0

Alors A^3=I mais A.n'est pas diagonalisable dans R sauf erreur.

Dans C, c'est direct vu que X^k-1 s'écrit comme le produit des (X - exp(2ilpi/k)) pour l dans {0,...,k-1} donc est scindé à racines simples dans C (comme le dit Pseuda).