Loi de Z = XY

[Menthix]

Bonjour,
Voici l’exercice : donner la loi de Z = XY où X suit une loi de Bernouilli et Y une loi de Poisson de paramètre 1; X et Y indépendantes.

Dans la correction, on a :
- Soit (Z = k) = ((X=1) n (Y=k)), k naturel différent de 0 avec une proba de p/(e.k!) Pour ça je suis d'accord.
- Soit (Z=0)= (X=0) u ((X=1)n(Y=0))

C'est pour le deuxième cas que j'ai un problème. En effet j'aurais fait (Z=0) = (X=0)n(Y=n) u (X=1)n(Y=0) ; avec n un entier naturel (égal à 0 ou non).
Or la probabilité est différente de celle trouvée à la correction.
Pouvez-vous m'expliquer pourquoi on a : (Z=0)= (X=0) u ((X=1)n(Y=0)) ?
Merci d'avance

[Elias]

C'est un problème de notation en quelque sorte.

Quand on écrit (Z=0)= (X=0) u ((X=1)n(Y=0))

Cela signifie que l'événement (Z=0), c'est à dire l'ensemble (où \Omega est l'univers) est égal à la réunion (X=0) U ( (X=1) n (Y=0)). Cette réunion, en écriture ensembliste donne :



Je pense que tu seras d'accord avec cette égalité ensembliste. Si on prend un tel que , alors ça donne t donc soit [et donc vaut n'importe quoi ] soit vaut 1 et vaut 0.


Il faut bien commprendre que quand on écrit (X=0) U ( (X=1) n (Y=0)), dans le (X=0) il faut comprendre (X vaut 0 et Y n'importe quoi).

C'est ce que tu sembles vouloir préciser quand tu écris "(Z=0) = (X=0)n(Y=n) u (X=1)n(Y=0)". Mais en écrivant ça, c'est comme si tu fixais un entier n et que tu décrétais que dans le cas (X=0) on doit avoir obligatoirement Y=n (avec n fixé) alors que non Y vaut n'importe quoi.

Quelque chose de correct aurait été: ce qui revient exactement à écrire (X=0) tout seul.

[Ben314]

Salut,
Et pour être un peu plus précis, de toute façon, ça :

...j'aurais fait (Z=0) = (X=0)n(Y=n) u (X=1)n(Y=0) ; avec n un entier naturel (égal à 0 ou non).

ça n'a pas de sens : l'événement "Z=0", c'est un événement qui évidement ne dépend de rien du tout donc comment pourrait-il être égal à un évènement qui lui dépend d'un certain entier n ????