Preuve racines complexes

[Dudier]

Salut, j'ai un petit problème avec cette affirmation car je ne comprend pas comment on passe de celle du haut à celle du bas !

Soient les racines complexes du polynôme

Alors on a :


Merci d'avance pour l'aide, ça fait un bon moment que je bloque dessus

[Lostounet]

Salut,

Comprends-tu le sens de l'énoncé?

Que dire du produit des racines de P(z)=(z-z1)(z-z2) si je l'écris sous la forme P(z)=z^2+a1*z + a0

[infernaleur]

Salut, c'est les relations "coefficients racines",
si on a un polynôme de degré n et si on note ses racines,
on sait que le polynôme est scindé et qu'il est de la forme
On en déduit :


Pour retrouver rapidement ce résultat on regarde ce que l'on obtient lorsque l'on développe P(x) sous forme scindé sans prendre de X, on obtient :
(où (*) sont les autres termes du polynôme qu'on ne considère pas).
Or comme on sait que les coefficients d'un polynôme sont uniques, on a :
ce qui donne ce que j’ai écris plus haut.
(dans ton cas ton polynôme est unitaire donc tu n'as pas de ).

[pardon lostounet j'avais déjà écrit mon message quand tu as répondu]

[Dudier]

Oulala oui c'est simple en fait !!

Quand on développe les racines, on multiplie tous les termes entre eux et on a donc on a des z à la puissance quelque chose partout sauf sur le produit de toutes les racines entre elles, et c'est pour ça qu'elles valent ( fois le -1 pour le nombre de racines)

Aïe aïe aïe ça me rassure pas de bloquer sur des trucs simples comme ça... Etant donné que j'avais envie aller en math à l'uni l'année prochaine...

Merci beaucoup pour l'aide vous êtes vraiment super !