Fonctions de références

[Alzheimer8364]

Bonjour.
J'aurais besoin d'aide pour un dm de 2nde sur les fonctions de références.
Je (pense) avoir réussi les premiers exercices mais vu ma moyenne, je suis quasiment sur d'avoir faux quelque part, je vous met donc ce que j'ai fait.
1.Soit k un réel non nul.
Démontrer que si k < 0 alors f : x kx² est décroissante sur ]-
;0] puis croissante sur [0;+[.

Alors pour cet exercice, j'ai d'abord étudié les variations sur ]-;0].
Sur ]-;0], soient x1 et x2 deux réels tels que x1<x2<0
Donc x1²>x2²>0 car la fonction est décroissante sur R-
Donc k(x1)<k(x2)
Donc f est décroissante sur R-.

Sur [0;+[, soient x1 et x2 deux réels tels que 0<x1<x2
Donc 0<x1²<x2² car la fonction est croissante sur R+
Donc kx1²>kx2²
Donc f(x1)>f(x2)
Donc f est décroissante sur R+

2.Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x²+8x+7
1)Vérifier que pour tout réel x, f(x)=(x+4)²-9
f(x)=(x+4)²-9
= x²+8x+16-9
= x²+8x+7
2)Montrer que le minimum de la fonction est -9. En quelle valeur est il atteint ?
f(x)=-9 (x+4)²-9 = -9
(x+4)²=0
x=-4
f(x)-f(a)>0 f(x)>f(4)
(x+4)²-9>-9
(x+4)²>0
Or un carré est toujours positif
Donc -9 est un minimum atteint en -4.
3)Determiner en justifiant le sens de variation de f sur ]-;a] et [a:+[.
Sur ]-;-4], soient x1 et x2 deux réels tels que x1<x2<-4 x1+4<x2+4<0
Donc (x1+4)²>(x2+4)² car la fonction carré est décroissante sur R-
Donc (x1+4)²-9>(x2+4)²-9
Donc la fonction est décroissante sur ]-:-4]

Sur [-4;+[ soient x1 et x2 deux réels tels que -4<x1<x2 0<x1+4<x2+4
Donc (x1+4)²<(x2+4)² car la fonction carré est croissante sur R+
Donc (x1+4)²-9<(x2+4)²-9
Donc f est croissante sur [-4;+[

3.On définit la fonction f par f(x)=x
1) Pour quelles valeurs de x la fonction f est-elle définie ? Justifier.
La fonction f est définie sur R+ car une raçine ne peut être négative.
Et voilà où je bloque
2)Montrer que, pour tous réels a et b, on a

Pour cet exercice, la professeur m'a donné une aide et m'a dit de multiplier le numérateur et le dénominateur par ce qui me donne

Néanmoins, je ne sais pas quoi faire avec ça.
Je ne cherche pas vraiment la réponse, juste le raisonnement.
Merci.

[Tiruxa47]

Bonjour,

Des problèmes de rédaction, en particulier pour le minimum
Il faut démontrer que f(x) est supérieur à -9 pour tout réel x
On étudie donc le signe de f(x)-(-9) et l'on trouve que c'est positif pour tout réel x

Pour la dernière question, il n'aurait pas fallu développer le numérateur.

[Alzheimer8364]

Donc, ça fait , c'est ça ?

[Tiruxa47]

Oui

[Alzheimer8364]

Ok, je pensais que je pouvais continuer après cette réponse mais je n'y arrive pas.
On me dit : En déduire que si 0a<b alors f(a) - f(b) 0.
Je ne sais pas quoi faire