[tex]2^k-1=n^2[/tex]

[Aerosun006]

Bonjour, je voudrais résoudre ça : (dans N )
En se basant sur cette équation, je sais que :
est impair. Donc, n est impair sauf si k=0.
est positif.
Une solution évidente est k=0 et n=0.
est un carré parfait Chercher toutes les puissances de 2 (que je nomme A) tel que A-1 est un carré parfait.

Je pense ensuite à faire passer le 1 dans l'autre membre : . Dès lors, est une puissance de deux, implique que est impaire (sauf si k=0, comme vu précédemment). Je pense à remplacer n par 2a+1 (avec a dans Z). L'équation devient :


Après, je factorise 2 dans le membre de droite et je divise le membre de gauche par 2. J'obtiens :
(k-1 en bien en exposant).

Je fais passer le +1 du membre de droite vers le membre de gauche, je factorise le membre de droite par 2 et je note k-1=z et
(pour une meilleure notation). J'obtiens : . Donc, . Donc, 2b+1 est une puissance de 2. Or toute puissance de 2 est pair sauf . Donc, z=0. Autrement dit k-1=0 <=> k=1.
Ensuite, l'équation devient : .
Or, n=2a+1. Donc, n=1 ou n=-1 (que je rejette car solution dans N).

Je trouve donc un couple de solution (k=1;n=1). Je pense à rajouter la solution évidente (k=0;n=0) vu précédemment.

Est-ce bon ?

[zygomatique]

salut



n est impair donc n = 2p + 1 donc

le premier membre est une puissance de 2 ...
le second membre est impair

l'unique puissance de 2 impaire est

donc k = 1 et p = 0 <=> n = 1

en plus de la solution triviale k = 0 et n = 0

...

[Razes]

Résoudre dans

Nous avons deux cas pour :
Cas paire: (Cas trivial, mais si on peut le démontrer, c'est mieux)

est impaire est impaire

Donc

Cas impaire: (Reprendre la démonstration de zygomatique)
donc

le premier membre est une puissance de 2 , le second membre est impair

l'unique puissance de 2 impaire est

donc et
Donc

[Aerosun006]

Bonjour, merci pour vos réponses, je vois que je me suis un peu compliqué la tâche ^^. J'en profite pour vous demander quand faut il utiliser les congruences ?