Caractérisations de GLn(Z)

[Thib']

Petit exercice intéressants sur les matrices entières inversibles. (Niveau MP)

On note l'ensemble des matrices carrées de taille et à coefficients dans . On note l'ensemble des matrices de inversibles et dont l'inverse est aussi dans . Pour , on note la partie entière de et sa partie fractionnaire.

1) Montrer que pour tout , est à coefficients rationnels.

2) Montrer que pour tout , si et seulement si

On pose . On note .

3) Montrer que est dans si et seulement si .

On note tels que . On note le parallélépipède .

4) Montrer que si et seulement si les seuls points à coefficients entiers de sont exactement les points de .

[miplume]

Ahaha, je reconnais le début du sujet maths-A du concours X/ENS de cette année ! Pour ceux qui sont intéressés par la suite, vous pourrez trouver le sujet complet sur internet.

[Thib']

J'ai trouvé ce morceau assez rigolo !