Problème Carrés Parfaits 3eme

par **AntoAsis** » 29 Déc 2015, 23:38

Bonjour !

Un exercice facultatif sur mon devoir maison me pose problème.
J'adore les mathématiques et résoudre des problèmes mais là, je me retrouve dans une petite impasse et cela m'énerve :mur:

Voici le problème : "Obtient-on un carré parfait lorsque l'on augmente de 1 le produit de quatre nombres consécutifs ?"

On considère un nombre a=n(n+3)

Question 1 à laquelle j'ai répondu : Vérifiez que (n+1)(n+2)=a+2

Question 2 sur laquelle je bloque : Exprimez l'expression n(n+1)(n+2)(n+3)+1 en fonction de "a" et conclure

Merci d'avance et bonne journée !

par **Eoiwa** » 30 Déc 2015, 00:20

AntoAsis a écrit:Bonjour !

Un exercice facultatif sur mon devoir maison me pose problème.
J'adore les mathématiques et résoudre des problèmes mais là, je me retrouve dans une petite impasse et cela m'énerve :mur:

Voici le problème : "Obtient-on un carré parfait lorsque l'on augmente de 1 le produit de quatre nombres consécutifs ?"

On considère un nombre a=n(n+3)

Question 1 à laquelle j'ai répondu : Vérifiez que (n+1)(n+2)=a+2

Question 2 sur laquelle je bloque : Exprimez l'expression n(n+1)(n+2)(n+3)+1 en fonction de "a" et conclure

Merci d'avance et bonne journée !

Bonjour,

La question 2 n'est pas très difficile, mais il faut un peu de jugeote afin de la résoudre.
L'expression à exprimer est :

Tu peux tout à fait l'écrire sous la forme :

J'ai juste changé quelques termes de place, mais quand tu vois cette expression, ainsi que les égalités proposées plus haut.... ne vois-tu pas quelque chose ?
Tu peux alors facilement exprimer l'expression en fonction de a.
Le seul point sur lequel je suis un peu troublé reste la conclusion, mais étant donné que je n'ai pas de brouillon pour écrire, et bien, je suppose que ça devrait venir si tu as l'expression.

Bon courage en tout cas !

par **AntoAsis** » 30 Déc 2015, 00:48

Oui j'en suis venu à la même conclusion c'est à dire :
Cette expression est égale à A(n+2)(n+1)+1 mais il n'y a rien à conclure dans ce cas ?!

par **lop** » 30 Déc 2015, 01:00

AntoAsis a écrit:Oui j'en suis venu à la même conclusion c'est à dire :
Cette expression est égale à A(n+2)(n+1)+1 mais il n'y a rien à conclure dans ce cas ?!

Non ?

par **Eoiwa** » 30 Déc 2015, 01:08

AntoAsis a écrit:Oui j'en suis venu à la même conclusion c'est à dire :
Cette expression est égale à A(n+2)(n+1)+1 mais il n'y a rien à conclure dans ce cas ?!

Mais dans la question 1, tu n'avais pas à démontrer l'égalité suivante ?

Tu peux le remplacer dans l'équation plus haut. Après, quand je vois le résultat, je ne sais pas ce que cela peut bien vouloir exactement dire sur le coup.

par **AntoAsis** » 30 Déc 2015, 01:14

Et bien du coup A(n+1)(n+2)+1 serai égal à Ax(A+2)+1 = A^2+2A+1 non ? :triste:

par **lop** » 30 Déc 2015, 01:21

c'est ce que je trouve !
et la suite des carrés parfait c'est a dire 1 4 9 16 25 36.
est "définie" par la fonction

donc t'obtiens un carré parfait peu importe x entier

n(n+1)(n+2)(n+3) ici on a le produit de 4 entiers consécutifs+1ici on ajoute 1
et on obtient un carré parfait peu importe le n entier !

par **Eoiwa** » 30 Déc 2015, 02:10

lop a écrit:c'est ce que je trouve !
et la suite des carrés parfait c'est a dire 1 4 9 16 25 36.
est "définie" par la fonction
donc t'obtiens un carré parfait peu importe x entier !

Je n'avais jamais connu cette fonction particulière, elle est au programme de collège ?
La suite des carrés parfaits m'était aussi inconnu, comme quoi, même si on a des bonnes bases de mathématiques, on peut toujours apprendre des choses.

par **lop** » 30 Déc 2015, 02:18

Je pense pas qu'elle soit au niveau collège d'ailleurs je ne saurais pas l'expliquer à un collegien.

par **Lostounet** » 30 Déc 2015, 05:15

Bonjour,

a = n(n + 3) = n^2 + 3n

1) On a (n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2 par développement
donc (n + 1)(n + 2) = a + 2

2)

n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n*(a + 2)*(n + 3) + 1 = (a + 2)*n*(n + 3) + 1 = a(a + 2) + 1 = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2

On constate donc que ce produit augmenté de 1 est toujours égal au carré de l'entier (n^2 + 3n + 1)

Exemple: prenons n = 10

10*11*12*13 + 1 = 17161

Qui est bien le carré de l'entier (10^2 + 3*10 + 1) = 131

par **chan79** » 30 Déc 2015, 08:39

salut
Si on accepte un peu de calcul, il y a la méthode bête qui consiste à développer:

on peut conjecturer que c'est le carré de (n²+an+1)
on trouve vite:

par **nodjim** » 30 Déc 2015, 08:39

Peut être plus simplement:
Soit a(a+1)(a+2)(a+3)
Le produit des 2 termes du milieu est égal au produit des 2 termes extrêmes + 2.
On pose (a+1)(a+2)=A+1
On a alors a(a+3)=A-1
Et le produit (A-1)(A+1)=A²-1

donc a(a+1)(a+2)(a+3)+1=A²

par **aurel5** » 30 Déc 2015, 09:15

Bonjour !

[FONT=Times New Roman]

[/FONT]

[FONT=Times New Roman]On pose

et alors:

[/FONT]

par **AntoAsis** » 30 Déc 2015, 10:15

Euh.... 16, 25... Ect ne sont pas des carrés parfaits (un carré parfait est le carré d'un nombre premier :we:

par **aurel5** » 30 Déc 2015, 10:22

AntoAsis a écrit:Euh.... 16, 25... Ect ne sont pas des carrés parfaits (un carré parfait est le carré d'un nombre premier :we:

[FONT=Times New Roman]Pas du tout ![/FONT]

par **AntoAsis** » 30 Déc 2015, 10:42

ah pardon ! (Erreur stupide)

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