Diagonalisation

[Thildoucantal15]

Bonjour,
Je bloque sur une question d'un devoir:

On note Qn(R) l'ensemble des matrices M de Mn(R) vérifiant sp(M)CU (U est l'ensemble des complexes de module 1) et det(M)=1
Montrer que si M est une matrice de Q2(R) n'admettant pas de valeur propre réelle, il existe P appartenant à GL2(R) et theta tels que P^-1MP=R
avec R la matrice (cos theta -sin theta
sin theta cos theta)
Auriez vous une idée sur le raisonnement à tenir?
Merci!

[Ben314]

Salut,
Une piste : soit une des deux valeur propre (complexe) de M (l'autre est donc égale à ...)
Comme est de module égal à 1, il s'écrit .
Soit un vecteur propre associé à . On peut l'écrire où et le fait que signifie que donc ...
De plus, (X,Y) est une famille libre de car sinon...

[Thildoucantal15]

Salut,
Une piste : soit une des deux valeur propre (complexe) de M (l'autre est donc égale à ...)
Comme est de module égal à 1, il s'écrit .
Soit un vecteur propre associé à . On peut l'écrire où et le fait que signifie que donc ...
De plus, (X,Y) est une famille libre de car sinon...

La 2ème valeur propre est son conjugué, lambda peut s'écrire sous la forme: cos theta+isin theta
Chacune des valeurs propres est de multiplicité 1, la dimension de chaque espace propre associé est aussi 1.
Je cherche pour les autres implications.

[Thildoucantal15]

Salut,
Une piste : soit une des deux valeur propre (complexe) de M (l'autre est donc égale à ...)
Comme est de module égal à 1, il s'écrit .
Soit un vecteur propre associé à . On peut l'écrire où et le fait que signifie que donc ...
De plus, (X,Y) est une famille libre de car sinon...

Je n'arrive pas à réécrire l'égalité MZ=lambdaZ, je ne vois pas comment écrire Z sous forme d'une matrice colonne...

[Thildoucantal15]

Salut,
Une piste : soit une des deux valeur propre (complexe) de M (l'autre est donc égale à ...)
Comme est de module égal à 1, il s'écrit .
Soit un vecteur propre associé à . On peut l'écrire où et le fait que signifie que donc ...
De plus, (X,Y) est une famille libre de car sinon...

Alors j'obtiens que Z=0 ce qui est moyen pour un vecteur propre... :/

[Ben314]

Le Z, le X et le Y dont je parle sont des vecteur colonne. Le Z est un vecteur colonne complexe et le X et le Y sont des vecteurs colonne réels.

donne

Et comme un vecteur colonne complexe Z' s'écrit de façon unique sous la forme Z'=X'+iY' avec X' et Y' des vecteurs colonne réels, cela signifie que
et .

Donc une fois montré que (X,Y) est une base de tu en déduira que l'endomorphisme de matrice M dans la base canonique a pour matrice ... dans la base (X,Y)

[Thildoucantal15]

Le Z, le X et le Y dont je parle sont des vecteur colonne. Le Z est un vecteur colonne complexe et le X et le Y sont des vecteurs colonne réels.

donne

Et comme un vecteur colonne complexe Z' s'écrit de façon unique sous la forme Z'=X'+iY' avec X' et Y' des vecteurs colonne réels, cela signifie que
et .

Donc une fois montré que (X,Y) est une base de tu en déduira que l'endomorphisme de matrice M dans la base canonique a pour matrice ... dans la base (X,Y)

C'est bon je viens de comprendre!!!!! Merci beaucoup!!

[kbS16]

Bonjour,
Je bloque sur une question d'un devoir:

On note Qn(R) l'ensemble des matrices M de Mn(R) vérifiant sp(M)CU (U est l'ensemble des complexes de module 1) et det(M)=1
Montrer que si M est une matrice de Q2(R) n'admettant pas de valeur propre réelle, il existe P appartenant à GL2(R) et theta tels que P^-1MP=R
avec R la matrice (cos theta -sin theta
sin theta cos theta)
Auriez vous une idée sur le raisonnement à tenir?
Merci!

Salut, pourrais tu me dire ton devoir était tiré de quel sujet stp?

[kbS16]

Salut,

De plus, (X,Y) est une famille libre de car sinon...

j'ai essayé de réécrire les relations en posant X=aY mais je ne trouve pas de contradiction...

[Thildoucantal15]

Salut, pourrais tu me dire ton devoir était tiré de quel sujet stp?

Salut,
Je n'en ai aucune idée, j'ai cherché un peu le sujet sur internet sans succès. Si c'est écrit sur le corrigé que j'aurais au cours de la semaine prochaine normalement, je l'écrirai.