Diagonalisation

[Oplya]

Bonsoir,

J'ai un exercice dans lequel j'ai une matrice 3*3 non diagonalisable telle que son polynôme caractéristique PA(x) est donné et il faut trouver la matrice associée à ce polynôme caractéristique. J'ai eu plusieurs idées :
Ma première idée était de partir d'une matrice A telle que j'ai
(a b c ) Puis ensuite détermine le polynôme caractéristique de cette matrice et identité avec le
( d e f ) polynôme caractéristique qui m'était donné. Mais c'est trop fastidieux je pense.
( g h i )
Ma seconde idée c'était de trigonaliser de manière à avoir un changement de base puis retrouver la matrice de départ à partir de là mais cela me semble aussi fastidieux.
Je n'ai plus trop d'idée après.

Donc dans mon exercice j'ai le polynôme caractéristique de la matrice et à partir de ce polynôme je dois déterminer une matrice A non diagonalisable.

Merci

[aymanemaysae]

Vous pouvez voir ici , c'est très constructif.
Si cela est possible, veuillez donner l'expression de votre polynôme caractéristique.

[Ben314]

... et il faut trouver la matrice associée à ce polynôme caractéristique.

J'espère que l'énoncé exact précise bien qu'il faut trouver UNE matrice ayant ce polynôme comme polynôme caractéristique.
Vu que le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est invariant à changement de base prés, il y a presque toujours (*) des tas de matrices ayant un polynôme caractéristique donné.

(*) Question : C'est quoi les polynômes qui ne ne sont polynôme caractéristique que d'une seule matrice ?

[Oplya]

Vous pouvez voir ici , c'est très constructif.
Si cela est possible, veuillez donner l'expression de votre polynôme caractéristique.

L'expression du polynôme est (1-x)(2-x)^2

[Oplya]

J'espère que l'énoncé exact précise bien qu'il faut trouver UNE matrice ayant ce polynôme comme polynôme caractéristique.
Vu que le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est invariant à changement de base prés, il y a presque toujours (*) des tas de matrices ayant un polynôme caractéristique donné.

(*) Question : C'est quoi les polynômes qui ne ne sont polynôme caractéristique que d'une seule matrice ?

Oui c'est bien UNE matrice.
Ahhh mais du coup ma deuxieme proposition est bonne non? Je dois diagonaliser ou trigonaliser de manière à obtenir la matrice qui a ce polynôme caractéristique. Donc pour répondre à votre question deux matrices ont le même polynôme caractéristique si il existe une matrice A = PMP^-1?? Avec M une matrice diagonale ou triangulaire supérieure.
Mais mon énoncé me dit que A est non diagonalisable donc je dois trigonaliser ?Mais comment déterminer les espaces propres vu que je n'ai pas la matrice??

[Ben314]

Oui c'est bien UNE matrice...
Donc pour répondre à votre question deux matrices ont le même polynôme caractéristique si il existe une matrice A = PMP^-1?? Avec M une matrice diagonale ou triangulaire supérieure.

Bon, ben c'est pas gagné....
Déjà, ça serait bien de comprendre ce que c'est que la rigueur scientifique, par exemple ne pas écrire LA à la place de UNE et, quand on écrit un résultat, que ce qu'on écrive ait du sens :
Là, déjà je comprend rien a ce que tu as écrit : les deux matrices qui on (éventuellement) le même polynôme caractéristique, c'est lesquelles dans ta formule A = PMP^-1 ?
Vu le "Avec M ..." j'aurais tendance à penser que c'est A et P, mais dans ce cas que vient faire ce P^-1 dans la formule alors que nulle part n'est précisé que P est inversible ???
En bref, c'est du charabia, et en plus, si on tente vaguement de lui donner du sens, je suis à peu prés certain que c'est faux. Le seul résultat CORRECT qui ressemble à celui que tu donne, c'est :
Si A et B sont deux matrices telles qu'il existe une matrice P inversible telle que B=PAP^-1 alors A et B ont même polynôme caractéristique.
A noter que la réciproque est fausse : par exemple et ont même polynôme caractéristique mais il n'existe clairement pas de matrice P inversible telle que .

Sinon, pour revenir au sujet, personne ne te demande de diagonaliser ou trigonaliser quoi que ce soit vu qu'on te donne pas de matrice. On te demande de donne un exemple de matrice (parmis sans doute des tas d'autres) ayant comme polynôme caractéristique (1-X)(2-X)² et qui ne soit pas diagonalisable.
Tu ne connait pas une classe de matrices simples dont le polynôme caractéristique se "lit" directement dans la matrice ?

[aymanemaysae]

Je suppose que le polynôme caractéristique est: .
La matrice a comme polynôme caractéristique , ses valeurs propres sont:
* 1 de multiplicité 1 et d'espace propre Vect((1,0,0)) de dimension 1.
* 2 de multiplicité 2 et d'espace propre Vect((1,1,0)) de dimension 1 qui est différente de la multiplicité, donc la matrice donnée est non diagonalisable.

La matrice a comme polynôme caractéristique , ses valeurs propres sont:
* 1 de multiplicité 1 et d'espace propre Vect((1,0,0)) de dimension 1.
* 2 de multiplicité 2 et d'espace propre Vect((0,1,0)) de dimension 1 qui est différente de la multiplicité, donc la matrice donnée est non diagonalisable.

Donc on a au moins deux matrices qui répondent aux conditions du problème: ceci sauf avis contraire de M. Ben314.

[Oplya]

Bon, ben c'est pas gagné....
Déjà, ça serait bien de comprendre ce que c'est que la rigueur scientifique, par exemple ne pas écrire LA à la place de UNE et, quand on écrit un résultat, que ce qu'on écrive ait du sens :
Là, déjà je comprend rien a ce que tu as écrit : les deux matrices qui on (éventuellement) le même polynôme caractéristique, c'est lesquelles dans ta formule A = PMP^-1 ?
Vu le "Avec M ..." j'aurais tendance à penser que c'est A et P, mais dans ce cas que vient faire ce P^-1 dans la formule alors que nulle part n'est précisé que P est inversible ???
En bref, c'est du charabia, et en plus, si on tente vaguement de lui donner du sens, je suis à peu prés certain que c'est faux. Le seul résultat CORRECT qui ressemble à celui que tu donne, c'est :
Si A et B sont deux matrices telles qu'il existe une matrice P inversible telle que B=PAP^-1 alors A et B ont même polynôme caractéristique.
A noter que la réciproque est fausse : par exemple et ont même polynôme caractéristique mais il n'existe clairement pas de matrice P inversible telle que .

Sinon, pour revenir au sujet, personne ne te demande de diagonaliser ou trigonaliser quoi que ce soit vu qu'on te donne pas de matrice. On te demande de donne un exemple de matrice (parmis sans doute des tas d'autres) ayant comme polynôme caractéristique (1-X)(2-X)² et qui ne soit pas diagonalisable.
Tu ne connait pas une classe de matrices simples dont le polynôme caractéristique se "lit" directement dans la matrice ?

D'accord merci j'ai compris mais j'ai plus l'impression que tu me reproches des points qui étaient encore flous pour moi (désolé mais tu me donnes l'impression d'être pas très futé alors que j'essaye de comprendre ), j'avais juste lu un théorème qui disait que deux matrices ont le meme polynome caractéristique si elles sont semblables, c'est ce que j'essayais d'expliquer d'où tout mon "charabia"...., je cherchais juste à comprendre si j'étais sur la bonne piste après oui j'ai fais des erreurs en m'exprimant. Ma formule (A= PMP^-1) n'a rien de differente de la tienne j'avais compris juste j'ai mal formulé mes phrases pour me faire comprendre. Ensuite en partant de cette hypothèse je me suis dis que fallait donc que je recherche la matrice que j'ai appelé M formé des valeurs propres. Puis les vecteurs propres pour trouver la matrice de passage P inversible (mais je comprend que c'était pas la peine), donc je ne parlais pas de A et P... Sinon la classe de matrice serait triangulaire supérieure.

[Ben314]

Je suppose que le polynôme caractéristique est: .

En général, en France, le polynôme caractéristique d'une matrice A, c'est défini comme étant det(A-X.Id) (alors que dans certains pays on prend det(X.Id-A) ) donc le polynome caractéristique d'une matrice 3x3 commence forcément pas -X^3 et c'est donc bien (1-x)(2-x)² (ou bien (1-x)(x-2)² qui lui est égal) mais pas (x-1)(x-2)².

De toute façon, c'est pas très gênant vu que c'est la même chose au signe prés.