F(eg)=eg'

par **biss** » 03 Déc 2015, 22:43

Bonsoir ( ou Bonjour ),
Je voudrais que vous me disiez si cette démonstration est juste
Soit f un morphisme de(G , *) vers ( G', )

car

et la composé d'un nombre par son inverse est égal a l'élément neutre
J'ai fais cette démonstration car je ne comprenais pas ceux des cours que je suis.
En passant si certains peuvent me passer autre façon de le démontrer.
Merci

par **SLA** » 03 Déc 2015, 23:43

biss a écrit:Bonsoir ( ou Bonjour ),
Je voudrais que vous me disiez si cette démonstration est juste
Soit f un morphisme de(G , *) vers ( G', )
car et la composé d'un nombre par son inverse est égal a l'élément neutre
J'ai fais cette démonstration car je ne comprenais pas ceux des cours que je suis.
En passant si certains peuvent me passer autre façon de le démontrer.
Merci

Salut,
Comment sais-tu que

?
Le plus simple me semble être d'utiliser la définition de l'élément neutre pour montrer que son image est l'élément neutre.
Cordialement

par **aymanemaysae** » 03 Déc 2015, 23:59

M. SLA a raison, et en ce qui concerne votre démonstration, vous pouvez opter pour des démarches plus simples: il en existe plusieurs. par exemple, on peut faire de cette façon:

Appelons u l'élément neutre de G et u' l'élément neutre de G',
donc pour tout x de G on a f(x) = f(x*u) = f(x) . f(u) = f(u*x) = f(u) . f(x),
donc pour x de G on f(x) = f(x) . f(u) = f(u) . f(x), f(u) = u'.

Essayez une autre démarche, par exemple celle que vous avez dans le cours. Je pense qu'elle parmi les plus abordables (Nos professeurs sur le site ne diront certainement pas le contraire).

Bon courage.

par **biss** » 04 Déc 2015, 00:08

SLA a écrit:Salut,
Comment sais-tu que ?
Le plus simple me semble être d'utiliser la définition de l'élément neutre pour montrer que son image est l'élément neutre.
Cordialement

Merci
Dans le cours

par **biss** » 04 Déc 2015, 00:10

aymanemaysae a écrit:M. SLA a raison, et en ce qui concerne votre démonstration, vous pouvez opter pour des démarches plus simples: il en existe plusieurs. par exemple, on peut faire de cette façon:

Appelons u l'élément neutre de G et u' l'élément neutre de G',
donc pour tout x de G on a f(x) = f(x*u) = f(x) . f(u) = f(u*x) = f(u) . f(x),
donc pour x de G on f(x) = f(x) . f(u) = f(u) . f(x), f(u) = u'

Essayez une autre démarche, par exemple celle que vous avez dans le cours. Je pense qu'elle parmi les plus abordables (Nos professeurs sur le site ne diront certainement pas le contraire).

Bon courage.

Je ne comprend pas tout comme je n'arrive pas a comprendre les parties en rouges
U*x=x non ?
Comment tu as conclu ?

par **SLA** » 04 Déc 2015, 00:18

biss a écrit:Merci
Dans le cours

Tu as l'air d'essayer de partir de zéro. Tu ne peux donc pas utiliser les propriétés du cours. En particulier pour montrer de manière générale que

on utilise que l'image du neutre est le neutre... Ce que tu essayes de montrer.

par **Ben314** » 04 Déc 2015, 08:12

Salut,
Perso, il me semble que ta preuve est tout a fait correcte : les deux propriétés de f que tu utilise, a savoir f(xy)=f(x)f(y) et f(x^(-1))=f(x)^(-1) sont les deux que l'on prend généralement comme définition de "f est un morphisme de groupe" donc ça marche.
On peut simplement faire remarquer que certains auteurs incluent directement dans la définition de "f est un morphisme de groupe" le fait que f(e)=e' bien que ce soit une conséquence des deux autres (pour des raisons d'homogénéité avec d'autres définitions comme celles de morphisme d'anneau unitaires).
On peut évidement proposer des preuves plus ou moins semblables comme plus celle présentée par aymanemaysae, mais qui me semble légèrement plus compliquée vu qu'elle fait intervenir un autre élément (a savoir x) de G. De plus cette preuve est inutilement longue : une fois qu'on a f(x)=f(x)f(u), il suffit de multiplier à gauche par l'inverse de f(x) pour en déduire que u'=f(u) et il n'est nullement nécessaire d'effectuer le produit "dans l'autre sens".

par **SLA** » 04 Déc 2015, 10:17

Ben314 a écrit:Salut,
Perso, il me semble que ta preuve est tout a fait correcte : les deux propriétés de f que tu utilise, a savoir f(xy)=f(x)f(y) et f(x^(-1))=f(x)^(-1) sont les deux que l'on prend généralement comme définition de "f est un morphisme de groupe" donc ça marche.
On peut simplement faire remarquer que certains auteurs incluent directement dans la définition de "f est un morphisme de groupe" le fait que f(e)=e' bien que ce soit une conséquence des deux autres (pour des raisons d'homogénéité avec d'autres définitions comme celles de morphisme d'anneau unitaires).
On peut évidement proposer des preuves plus ou moins semblables comme plus celle présentée par aymanemaysae, mais qui me semble légèrement plus compliquée vu qu'elle fait intervenir un autre élément (a savoir x) de G. De plus cette preuve est inutilement longue : une fois qu'on a f(x)=f(x)f(u), il suffit de multiplier à gauche par l'inverse de f(x) pour en déduire que u'=f(u) et il n'est nullement nécessaire d'effectuer le produit "dans l'autre sens".

Salut,
Si c'est dans la définition, je n'ai rien à dire. Le fait que f(e)=e' est juste une conséquence de f(xy)=f(x)f(y) (non pas de f(xy)=f(x)f(y) ET f(x^(-1))=f(x)^(-1) ). La preuve a été donnée par aymanemaysae.
Il me parait alors bizarre de mettre une contrainte dans la définition, alors qu'elle est donnée par les autres propriétés. Après, ça peut dépendre du prof voire de la formation.
Cordialement

par **MouLou** » 04 Déc 2015, 10:58

Wiki ne donne que f(xy)=f(x)f(y) comme définition. Je pense c'est la seule qui soit suffisante pour déduire les 2 autres qui apparaissent souvent dans la définition, à savoir

et f(e)=e'.

En tout cas je ne vois pas comment déduire de

que f(xy)=f(x)f(y)

Edit: d'ailleurs je ne comprends pas la preuve de aymanemaysae. Comme le dit Ben, elle aurait pu etre terminée des la première égalité, mais elle a été continuée, pour arriver a la conclusion que f(u) commute avec tous les élements de l'image de f, et donc que f(u)=u' (??)

par **biss** » 04 Déc 2015, 11:25

A oOK je comprend
J'ai dans mon cours

or

donc

et en simplifiant on trouve

Je sais pas ils ont simplifié quoi par quoi
Si vous pouvez m'expliquer

par **MouLou** » 04 Déc 2015, 11:37

Il a l'égalité:

. il multiplie à gauche par

par **biss** » 04 Déc 2015, 11:52

Peut on ton multiplier juste a gauche et laisser la droite ? Ça ne changerais pas l'égalité ?

par **Ben314** » 04 Déc 2015, 12:09

Un truc très très très général en math., c'est que, si x est égal à y (des objets quelconques) et F est une "formule" quelconque alors F(x) est égal à F(y).
Donc par exemple, si

est égal à

alors

est égal à

(même "formule" appliquées aux deux)

par **Ben314** » 04 Déc 2015, 12:27

Sinon, concernant ce qu'il y a dans les définitions, perso., je me suis toujours rappelé les définitions des "morphisme", sous la forme "c'est ce qui conserve la structure".
Par exemple, si on est dans la catégorie des anneaux unitaires, on demande que ça conserve la somme, l'opposé, le neutre de +, le produit et le neutre du produit (car on est dans la catégorie des anneaux unitaire).
Après, dans presque tout les cas, il y a une partie des trucs qui se déduisent des autres, mais (toujours perso.), je trouve ça plus logique de mettre toute la structure dans la définition, quitte a faire ensuite un mini théorème où on montre qu'une partie suffit à démontrer le reste dans ce cas particulier de structure.

par **biss** » 04 Déc 2015, 12:43

Ben j'ai compris ce que tu dis ( je le savais )
Mais en multipliant on aura

Après on conclu comment ?

F(eg)=eg'

f(eg)=eg'

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