ED : la substantifique moelle

[philChx]

Bonjour,
Apres de trop longues annees loin des bancs de la fac, je tente actuellement de rafraichir mes bases en mathematique appliquees a la physique.
Je rencontre des difficultes avec les formes differentielles, et le fait que dans de nombreux livres, les elements differentiels se deplacent d'un cote a l'autre du signe "=".
Je m'explique avec un exemple issu d'un exo : un avion volant a une vitesse donnee V se pose sur une piste d'aeroport. Le pilote active les aerofreins, dont l'ED correspondante est :

dv/dt = - k V. (Desole pour l'ecriture, je n'ai pas Tex sur mon Ipad)
A l'etape suivante, le corrige explique qu'on reecrit cette equation :
dv/v = - k dt

Par la suite, je comprend le raisonnement qui aboutit a l'equation v= A exp(-kt), mais je ne comprend pas pourquoi on s'autorise a passer les elements differentiels (dt en l'occurence) dans l'autre membre de l'equation et surtout que s'ignifient physiquement ces elements differentiels dans ce cas la.

Voila, merci de votre aide sur le chemin de la connaissance :ptdr:

Phil

[chombier]

Bonjour,
Apres de trop longues annees loin des bancs de la fac, je tente actuellement de rafraichir mes bases en mathematique appliquees a la physique.
Je rencontre des difficultes avec les formes differentielles, et le fait que dans de nombreux livres, les elements differentiels se deplacent d'un cote a l'autre du signe "=".
Je m'explique avec un exemple issu d'un exo : un avion volant a une vitesse donnee V se pose sur une piste d'aeroport. Le pilote active les aerofreins, dont l'ED correspondante est :

dv/dt = - k V. (Desole pour l'ecriture, je n'ai pas Tex sur mon Ipad)
A l'etape suivante, le corrige explique qu'on reecrit cette equation :
dv/v = - k dt

Par la suite, je comprend le raisonnement qui aboutit a l'equation v= A exp(-kt), mais je ne comprend pas pourquoi on s'autorise a passer les elements differentiels (dt en l'occurence) dans l'autre membre de l'equation et surtout que s'ignifient physiquement ces elements differentiels dans ce cas la.

Voila, merci de votre aide sur le chemin de la connaissance :ptdr:

Phil

Bonjour,

C'est une notation de physiciens qui n'avait pas de justification théorique mais qui fonctionnait tellement bien que les matheux s'en sont emparé (en particulier pour faire des changements de variables dans les intégrales).

Il faut considérer cela comme une notation, dont on pourrait se passer

La justification théorique n'est arrivée que très tardivement (milieu du XXème siècle) et a pris le nom d'analyse non standard : https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

[Robot]

La "justification théorique" de l'écriture dv/v=-k dt n'est pas l'analyse non standard !
Il s'agit, du point de vue mathématique, d'une égalité de formes différentielles. Les formes différentielles ont émergé au milieu du 18e siècle, et ont été formalisées il y a longtemps.

[Imod]

Nous on appelait ça de la cuisine de physiciens :ptdr:

On dérive des fonctions non dérivables , on intègre des fonctions non intégrables , on manipule des dx comme si c'était des nombres , ...

Tant que ça marche ...

La théorie des distributions a aussi donné ( à posteriori ) pas mal de sens à ces procédés .

Imod

[mathelot]

ces écritures sont des conséquences du théorème des fonctions implicites.
ce qui pose problème, ce ne sont pas les dx, dy mais le fait que ces égalités
sont valables dans un (petit) intervalle centré en

[philChx]

Merci de vos reponses, mais vous comprendrez que je reste dans l'espectative quand a leur utilisation et justification.
En general, j'aime bien comprendre, mais la il ne me reste plus qu'a accepter ....

[Robot]

Non, les distributions n'ont pas grand chose à voir avec les formes différentielles (les deux théories se rejoignent plus ou moins dans la théorie des courants) et non, l'écriture d'une forme différentielle n'est pas "une conséquence du théorème des fonctions implicites".
Dans l'exemple donné, la forme différentielle est une forme exacte sur , elle s'écrit comme .

[mathelot]

le théorème des fonctions implicites permet d'écrire

dans un voisinage du point considéré

[Robot]

1°) Il ne s'agit pas dans ce que tu écris de formes différentielles, mais de dérivées.
2°) Tu confonds le théorème des fonctions implicites avec la dérivation des fonctions composées. Quel rapport entre le théorème des fonctions implicites et ce que tu écris ?

[Imod]

Non, les distributions n'ont pas grand chose à voir avec les formes différentielles

Je n'ai rien affirmer de tel , je parlais de dériver ou d'intégrer des "fonctions" pour lesquelles ces mots n'ont pas de sens et plus généralement de l'habitude des physiciens d'appliquer des recettes sans s'occuper de leur domaine de validité : peut-être cela a-t-il changé ?

Imod

[Robot]

Je n'ai rien affirmer de tel , je parlais de dériver ou d'intégrer des "fonctions" pour lesquelles ces mots n'ont pas de sens et plus généralement de l'habitude des physiciens d'appliquer des recettes sans s'occuper de leur domaine de validité : peut-être cela a-t-il changé ?

Imod

C'est bien que tu précises ta pensée, parce que écrire "La théorie des distributions a aussi donné ( à posteriori ) pas mal de sens à ces procédés" après "on manipule des dx comme si c'était des nombres", ça prêtait à confusion, non ?

[mathelot]

@Robot: quand on résout des équations différentielles ordinaires à la main
on pose parfois que y' est fonction (dérivable) de y, ou que x est fonction de y.
je pensais que c'était le théorème des fonctions implicites qui donne l'existence
de ces relations y'=f(y), x=g(y) etc..

[Robot]

@Robot: quand on résoud des équations différentielles ordinaires à la main
on pose parfois que y' est fonction (dérivable) de y, ou que x est fonction de y.
je pensais que c'était le théorème des fonctions implicites qui donne l'existence
de ces relations y'=f(y), x=g(y) etc..

Soyons précis. Quand on a une équation différentielle sous la forme , et que la forme différentielle à gauche est exacte : , alors les courbes solutions sont données par (où est une constante). On peut exprimer en fonction de au voisinage de en résolvant quand on est dans la situation du théorème des fonctions implicites, à savoir .

[Imod]

C'est bien que tu précises ta pensée, parce que écrire "La théorie des distributions a aussi donné ( à posteriori ) pas mal de sens à ces procédés" après "on manipule des dx comme si c'était des nombres", ça prêtait à confusion, non ?

J'aurais sans doute dû inverser les données pour que la proximité du dx et des distributions te choque moins . Tout cela n'est pas très grave , je ne participe pratiquement plus à ce cite depuis longtemps :zen:

Imod