Exercice Parti entière

[Altaiir8]

Bonsoir,

Je rencontre un soucis avec cette exercice :

J'ai réussi a résoudre la 1ere question mais pour la 2eme je bloque complètement ... quelqu'un pourrai m'aider svp ?

Merci

[Ben314]

Salut,
Un truc qui semble pas trop compliqué, c'est de commencer par utiliser le 1) qui permet der remplace le x de la formule par [x] puis d'écrire que [x]=qn+r avec 0<=r=n.

[Altaiir8]

Salut,
Un truc qui semble pas trop compliqué, c'est de commencer par utiliser le 1) qui permet der remplace le x de la formule par [x] puis d'écrire que [x]=qn+r avec 0=n.

Ok merci, c'est bon je pense l'avoir résolu,je crois que l'idée d'utiliser la division euclidienne ne me serai jamais venu a l'esprit xD

[Altaiir8]

Afin d’éviter de faire un autre poste je me permet de poster ici un autre exo auquel je n'ai vraiment rien compris du tout ^^



Comment puis je démarrer pour montrer sa ?! tout ce que j'ai compris de cette exo c'est qu'on a une suite qui n'a pas de fin ...

Par avance merci

[Ben314]

Salut,
Dans le cas où r est rationnel, la suite est forcément finie.

Après, ton truc, ça ressemble plus ou moins à une écriture en base b.
Par exemple, lorsque l'on écrit que x=0.85431 en base 10, en fait ce que cela signifie, c'est que .
Dans ce cas, les numérateurs sont des "chiffres", c'est à dire des entiers tels que ?
Vu comme ça, la question semble trés con, mais si le réel de dépar est par exemple donné sous la forme x=15/23, comment fait-on (à la main et pas à la machine...) ?
Réponse : on pose la division comme dans la primaire.
Tu vérifiera qu'en fait, ça correspond à multiplier x par 10, puis à dire que est la partie entière de 10x calculé. Ensuite, on recommence en partant de la "partie fractionnaire" de 10x, c'est à dire de 10x- sa partie entière.
Exemple : On part de
-> Partie entière , partie fractionnaire
-> Partie entière , partie fractionnaire
-> Partie entière , partie fractionnaire
etc...
cela signifie que l'écriture décimale de est , c'est à dire que .

A toi de voir ce qu'il y a à modifier dans la méthode pour l'adapter à l'écriture demandée dans l'exercice et comment montrer que le processus s'arrête forcément (c'est à dire qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes dans la fameuse suite)

[zygomatique]

salut

ben si il y a une fin !!!! c'est dit dans l'énoncé

soit donc r = p/q irréductible avec p < q

on cherche le plus grand entier a2 < 2! tel que

et on pose r2 =

puis on cherche le plus grand entier a3 < 3! tel que

....

le but étant de prouver que ça s'arrête ....

[Rik95]

Mmmm ok merci je vois ce que tu vous voulez dire, je pense que sa va être un peu compliqué avec les factorielle, je vais essayer sinon Zygomatique comment puis je chercher le plus grand entier ?

[Ben314]

Si tu veut mon avis, dans ce type d'exo, il faut COMMENCER par le cas particulier demandé (i.e. 5/7) pour "comprendre comment ça marche" (et d'ailleurs si ce n'était pas demandé, ça serait quand même pas con de commencer par un exemple...)

[Rik95]

Oui c'est ce que je vais essayer de faire ^^

[zygomatique]

Mmmm ok merci je vois ce que tu vous voulez dire, je pense que sa va être un peu compliqué avec les factorielle, je vais essayer sinon Zygomatique comment puis je chercher le plus grand entier ?

comme la dit ben314 essayer avec 5/7

sinon ne pas oublier que r = p/q

donc tu veux que et on sait trouver le plus grand entier a_2 puisque R est archimédien ....

[Rik95]

j'ai essayer d’écrire 5/7 sous cette forme voila ce que sa a donné :
1/2! + 1/3! + 1/4! + 0/5! + 4/6! + 2/7!

[mathelot]

et pour les réels strictement positifs ? :arf2:

[Rik95]

et pour les réels strictement positifs ? :arf2:

Comment ça ?

[Ben314]

Comment ça ?

En fait, tout les réels de [0,1] (y compris 1) peuvent s'écrire sous la forme d'une somme infinie de an/n! avec 0<=an<n (mais l'écriture ne sera pas unique pour certains d'entre eux).
Seuls certains de ces réels peuvent s'écrire sous forme d'une somme finie et, en fait, il s'avère que ce sont les rationnels de (sans le 1) [et que l'écriture sous forme de somme finie est unique]

C'est exactement la même chose que l'écriture décimale où tout les réels de [0,1] (y compris 1) peuvent s'écrire 0,..... en base 10 avec une infinité de décimales (et une écriture non unique pour certains d'entre eux).
Et de nouveau, seuls certains admettent une écriture finie et se sont eux que l'on appelle les décimaux.

[zygomatique]

on peut remarqué que tout réel x > 0 s'écrit :

en "réarrangeant" les numérateurs pour avoir des entiers vérifiant la bonne conditions on construit une séries croissantes tendant vers x

et comme l'a dit ben314 la séries est une somme infinie pour les réels ....