Exercice logique, relation d'ensembles

[lapinmath]

Bonjour, je suis actuellement bloque sur un exercice. Je vois donne l énoncé :
Soit n un entier naturel non nul. On considere la relation définie dans Z, quels que soient x et y par :
Il existe k appartenant a Z et x-y=kN
1)Démontrer que cette relation est une relation d équivalence que l on notera x congru a y modulo n
2)Nous admettrons que quels que soient x et y de Z il existe un couple unique de ZxZ (ZcroixZ) tel que x=nq+r r compris entre 0 et n. Démontrer que quels que soient x et y de Z on a x congru y modulo n

Je ne démontre rien pour le moment. Je suis comme une poule devant un exercice de math

Merci a tous de votre aide,

[Tiruxa]

Bonjour,

Attention en reproduisant l'énoncé car la deuxième question est incompréhensible même si on peut deviner l'intention du rédacteur.
Le y ne figure pas dans x=qn+r..
à revoir donc

Pour la 1° c'est facile si on sait ce qu'est une relation d'équivalence.

Voir par exemple l'article de wiki sur la congruence :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Congruence_sur_les_entiers#Relation_d.27.C3.A9quivalence

[lapinmath]

Merci mais même si je crois comprendre la relations d equilavence je ne vois pas comment le demontrer. Pour b en effet j ai fait une erreur je corrige : c est pour tout x de Z et n de N* il existe un couple q et r dans x=nq+r r compris entre 0etn
Démontrer que xcongruy modn <=> x et y ont le même reste dans la division

[paquito]

Il doit y avoir une grosse erreur d'énoncé dans la 2) car si tu prend x=5x4+3=23 et y =2x4+1=9

tu as et donc tu n'as pas !

De toutes façons la première partie doit bien servir à quelque chose.

Sinon tu dois montrer dans la première partie:

1° xRx (réflectivité)

2° xRy et yRz entraîne xRy (transitivité)

3° xRy entraîne yRx (symétrie), je te fais la 2°:

On a
x-y=kN
Y-z=k'N, on en sommant (x-y)+(y-z)=x-z=(k+k')N et donc xRz.

Regarde dans ton énoncé si tu n'as pas plutôt: pour tout x et y tels que xRy, montrer que:

[lapinmath]

Merci. J ai éditer, en fait pour le 2) c est demontrer que x congru y modn <=> x et y ont le même reste dans la division

[paquito]

Merci. J ai éditer, en fait pour le 2) c est demontrer que x congru y modn x et y ont le même reste dans la division

Ca me parait pas plus raisonnable!