Equations : puissance et log

[Rockystein]

Bonjour,
J'ai une question à résoudre, je comprends totalement l'intuition derrière elle mais pas le développement mathématique :

"Vous disposez d’un montant V0. Si vous pouvez investir ce montant à un taux,
supposé constant, noté r alors après T périodes, vous aurez une richesse de VT = V0(1 + r)T .
Question 1: Vous vous demandez combien de temps il vous faut attendre avant que votre richesse
ait doublée. Etablissez une formule générale liant r avec la durée recherchée"
Réponse :
Etape 1 : VT = 2V0
Etape 2 : 2V0 = V0(1 + r)^T
Etape 3 : T = ln(2) / (ln(1 + r nominal))

Pouvez vous m'expliquer comment on est passé de l'étape 2 à l'étape 3 ?

Merci beaucoup.

[Manny06]

Bonjour,
J'ai une question à résoudre, je comprends totalement l'intuition derrière elle mais pas le développement mathématique :

"Vous disposez d’un montant V0. Si vous pouvez investir ce montant à un taux,
supposé constant, noté r alors après T périodes, vous aurez une richesse de VT = V0(1 + r)T .
Question 1: Vous vous demandez combien de temps il vous faut attendre avant que votre richesse
ait doublée. Etablissez une formule générale liant r avec la durée recherchée"
Réponse :
Etape 1 : VT = 2V0
Etape 2 : 2V0 = V0(1 + r)T
Etape 3 : T = ln(2) / (ln(1 + r nominal))

Pouvez vous m'expliquer comment on est passé de l'étape 2 à l'étape 3 ?

Merci beaucoup.

attention il s'agit de(1+R)^T

on prend les logarithmes népériens des 2 membres
ln[(1+R)^T]=Tln(1+R)

[Rockystein]

attention il s'agit de(1+R)^T

on prend les logarithmes népériens des 2 membres
ln[(1+R)^T]=Tln(1+R)

Oui tu as raison merci.

Peux tu developper un peu plus silteplait ? J'ai vraiment du mal en math sans voir tout le développement :help:

[Black Jack]

2V0 = V0(1 + r)^T
2 = (1 + r)^T

On prend le ln des 2 membres :

ln(2) = ln[(1 + r)^T]
ln(2) = T * ln(1 + r)
T = ln(2)/ln(1 + r)

(En se rappelant évidemment que b.ln(a) = ln(a^b)

:zen:

[Manny06]

Oui tu as raison merci.

Peux tu developper un peu plus silteplait ? J'ai vraiment du mal en math sans voir tout le développement :help:

2V0=V0(1+R)^T
on simplifie des deux côtés par V0
2=(1+r)^T
on prend les ln des deux membres
ln2=ln[(1+R)^T] on utilise la propriété du ln ln(a^x)=xlna (pour a>0)
ln2=Tln(1+R)
on tire T
T=ln2/ln(1+R)

[Rockystein]

Merci beaucoup à vous deux.