Possibilité de diagonalisation

[Henry2095]

Bonsoir, pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice s'il vous plaît?

Enoncé: Diagonalisez la matrice suivante si c'est possible.
A=(1 -1 0
1 1 2
-1 1 0)

J'ai trouvé que le polynôme caractéristique est: PA(X)=X²(2-X).
Donc, les valeurs propres de A sont 0 de multiplicité 2 et 2 de multiplicité 1.

Je pense qu'elle n'est pas diagonalisable car dim ker(A-0Id)=1. Or il devrait être égal à 2 car (A-OId) est de rand 1 et dim R^3 est de rand 3, donc d=selon le théorème du rang, dim ker(A-0Id)=2. Or, ici ce n'est pas le cas car ker(A-0Id)=Vect{(1,1,-1)}.

Est-ce que la réponse est bien exacte? Ou est-ce que je me serais trompé?

Merci d'avance pour votre aide.

[Monsieur23]

Aloha,

Pourquoi dis-tu que A-0I est de rang 1 ? Elle est de rang 2 :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C-1%2C0%7D%2C%7B1%2C1%2C2%7D%2C%7B-1%2C1%2C0%7D%7D

[Ben314]

Aloha,

Pourquoi dis-tu que A-0I est de rang 1 ? Elle est de rang 2 :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C-1%2C0%7D%2C%7B1%2C1%2C2%7D%2C%7B-1%2C1%2C0%7D%7D

Heuuuuu : soit j'ai besoin de changer de lunettes, soit ce qu'annonce wolfram c'est une "Jordan decomposition" et pas une diagonalisation (et donc Ker(A-0.Id) est bien de dimension 1)

[Monsieur23]

J'avais mal lu la question, je croyais qu'Henry affirmait que le rang de A était 1, donc je lui montrais qu'elle était bien de rang 2.

Au temps pour moi :lol3:

[sylvainc2]

Si une matrice est diagonalisable, sa forme de Jordan est diagonale. La matrice ici n'est pas diagonalisable, pour une valeur propre 0 les vecteurs propres sont ceux de ker(A) et effectivement dim(ker(A))=1 et donc rg(A)=2.