Electrostatique

[cosinus]

bonjour

je veux si c'est possible des eclairecissements en ce qui concerne la continuité du champ electrostatique ou du potentiel:

1-comment on peut savoir en avance que le champ electrostatique est continue en un point ou pas (la meme chose pour le potentiel)parceque dans les exercices par exp pour determiner les constantes du potentiel (calculé après le champ) on suppose toujours que le potentiel est continue en un point?

2-quelle est l'interpretation physique de la continuité du champ en un point(la meme chose pour le potentiel)?

et merci d'avance

[Dominique Lefebvre]

bonjour

je veux si c'est possible des eclairecissements en ce qui concerne la continuité du champ electrostatique ou du potentiel:

1-comment on peut savoir en avance que le champ electrostatique est continue en un point ou pas (la meme chose pour le potentiel)parceque dans les exercices par exp pour determiner les constantes du potentiel (calculé après le champ) on suppose toujours que le potentiel est continue en un point?

2-quelle est l'interpretation physique de la continuité du champ en un point(la meme chose pour le potentiel)?

et merci d'avance

Bonsoir,
La continuité du champ électrostatique (resp. du potentiel) est une caractéristique par définition. Le champ électrostatique est un champ vectoriel, continu sur tout le domaine de définition (à l'infini en théorie) SAUF à la limite de la (ou des ) charge qui produit ce champ.
D'ailleurs, s'il n'était pas continu, on aurait du mal à écrire les équations de Maxwell, qui supposent que sa fonction de définition soit continue et dérivable.

Pour t'en convaincre, étudie la continuité de la fonction qui définit le champ créé par une charge, en particulier à la limite de la charge.

Une des conséquences de la continuité est l'existence du principe de superposition des deux (ou n champs) en un point. Elle permet d'écrire que le champ résultant en ce point est la somme algébrique des champs.

Physiquement, la continuité signifie qu'il n'y a pas de "trou" dans le champ électrostatique (resp. électromagnétique). Le seul endroit intéressant à étudier est le champ à la limite de la charge.

[panoramix]

Salut,

lorsque l'on travaille avec des charges ponctuelles (de dimension nulle, ce qui est un outil purement mathématique), on se trouve confronté à des singularités. Le champ et le potentiel divergent vers l'infini.

Dans la réalité, les charges ne sont jamais réellement ponctuelles ou du moins, on ne s'intéresse pas aux propriétés des champs et potentiels au niveau de ces charges "ponctuelles" (au milieu d'un proton par exemple)
Il faut voir ces charges ponctuelles comme des outils mathématiques de simplifications des calculs pour estimer les champs dans l'environnement de ces charges. Plus la distance est supérieure à la dimension de la charge, plus l'approximation est juste. En plus, on a le théorème de Gauss pour enfoncer le clou :we:

Dans le cas de la sphère métallique chargée, tu peux donc faire tranquillement tes calculs tant que tu n'es pas sur la sphère en supposant que la charge est répartie sur une surface d'épaisseur nulle. Maintenant, quand tu es sur la sphère, l'approximation n'est plus bonne. Le problème est moins visible pour le champs E : avec le théorème de Gauss il est dans tous les cas nul à l'intérieur et strictement non nul à l'extérieur d'où discontinuité. Pour le potentiel, c'est effectivement moins intuitif.
En fait, ce qu'il faut savoir c'est qu'un film d'épaisseur nulle n'existe pas (car un conducteur parfait n'existe pas, même les supraconducteurs ne sont pas parfaits) et qu'il y aura toujours une fine épaisseur de la distribution des charges (effet de peau lié aux mouvements aléatoires (brownien) à haute fréquence des électrons dans le conducteur à l'équilibre électrique)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_de_peau

donc, au niveau de la sphère, il faut imaginer que les charges sont réparties aussi en épaisseur, faire le raisonnement avec rho et faire tendre cette épaisseur vers 0. Dans ce cas, tu auras un champ E qui tendra vers quelque chose comme une fonction en 1/r^2 fois une fonction échelon ("dérivée" de la distribution de Dirac). Dans ce cas, tant que tu n'es pas à la limite, tu auras un champ E de pente très importante mais pas infinie (donc en réalité le champ E est bien continu aussi comme toutes les grandeurs de la physique excepté en physique quantique). Comme E est lié au gradient de V, calcule V toujours avec cette épaisseur et fait tendre l'épaisseur vers 0. Tu auras ton explication.

J'espère que ça va t'aider dans la compréhension

bye

[flaja]

Bonsoir,
le potentiel est continu car c'est l'intégrale du champ :

Même si le champ est discontinu (avec un saut fini), son intégrale est continue.

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,
le potentiel est continu car c'est l'intégrale du champ :

Même si le champ est discontinu (avec un saut fini), son intégrale est continue.

c'est vrai dans la plupart des cas. En effet, on suppose ici que la fonction E est intégrable (au sens de Lebesgue). Cela exclut donc les cas biscornus de définition du champ électrostatique. Il vaudrait mieux dire que partout où le champ E est intégrable, alors le potentiel est continu.

Plus généralement, il convient d'éviter, lorsqu'on utilise des concepts mathématiques tels que la continuité, la dérivabilité et l'intégrabilité d'une fonction, les approximations un peu abruptes des physiciens, la plupart du temps justifiées dans la pratique, mais approximations quand même! Les utiliser en étant conscient de le faire.... (remarque générale des prof. de math de taupe aux prof de physique )

[cosinus]

merci beaucoup pour ces explications:

donc ,en generale , je peux dire que le potentiel est toujours continue ,et le champ electrostatique est aussi toujours continue sauf à la limite de la distribution de charge (c'est le cas qu'il faut etudier)?

[Dominique Lefebvre]

merci beaucoup pour ces explications:

donc ,en generale , je peux dire que le potentiel est toujours continue ,et le champ electrostatique est aussi toujours continue sauf à la limite de la distribution de charge (c'est le cas qu'il faut etudier)?

Exact.
Bon courage.