Historiquement parlant, c'est effectivement comme cela qu'Euler à procédé aprés que bien d'autres "grands" (Leibniz, les Bernoulli, Stirling, ...) se soit cassés les dents sur la formule et il n'en était pas peu fier ("si un seul de mes travaux doit être conservé, que ce soit celui-ci")
Sauf que c'était en 1735 et qu'on est en 2010... Les maths on légèrement progressées depuis et on connait des dizaines de méthode donnant la somme des Zéta(2k) dont en particulier un théorème trés général (et trés peu calculatoire) de la théorie des fonction de la variable complexe qui dit comment trouver la somme pour n dans Z des P(n)/Q(n) où P et Q sont deux polynômes.
Une application immédiate (une ligne) donne que Zéta(2k) correspond au 2k-ième coefficient du développement de cotan(z) en 0, c'est à dire au 2k-ième coefficient obtenu lorsque l'on fait la division polynômiale de
cos(z)=1-z²/2!+z^4/4!-z^6/6!... par
sin(z)=z-z^3/3!+z^5/5!-z^7/7!...
On trouve aussi les valeurs en quelques lignes en utilisant les séries de Fourrier.
Perso, la méthode qui me parrait la plus naturelle si "on ne sait rien" est d'écrire la série génératrice f(Z)=somme(zéta(2k)Z^2k,k>=1) et de constater au bout de 2/3 lignes que cela correspond à étudier une fonction 1-périodique qui tend vers +oo en 0 et vaut 0 en 1/2 ce qui,évidement, fait fortement penser à la fonction cotan(pi.z) [mais la preuve que c'est bien elle n'est pas complètement évidente]
Tout ça pour dire qu'à mon avis, l'intérêt de la méthode d'Euler me semble principalement historique.
Pour répondre à Mathelot, la fonction
})
texto ne se prète pas super bien au théorème des résiduts car, les pôles sont bien les entiers, mais le résidut en un entier n dépend de la parité de n (la fonction est 2-périodique).
Il est donc plus malin d'utiliser
 \over sin (\pi z)})
qui elle est 1-périodique.
