a,b et c des nembres reels positifs tellque a+b+c=1
dementrez que (1-a)(1-b)<=((1+c)/2)²
et merci d'avance
Tunisie
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par becirj » 17 Nov 2005, 12:27
Bonjour
c=1-a-b
^2-(1-a)(1-b)=(\frac {2-a-b}{2})^2-(1-a)(1-b)=\frac{1}{4}[(2-a-b)^2-4(1-a)(1-b)])
^2-4(1-a)(1-b)=4+a^2+b^2-4a-4b+2ab-4+4a+4b-4ab)
^2)
La différence étant positive ou nulle puisque c'est un carré :
(1-b)\leq (\frac{1+c}{2})^2)
c=1-a-b
La différence étant positive ou nulle puisque c'est un carré :
2/2
par Anonyme » 18 Nov 2005, 16:13
tunisie a écrit:Et comment en montre d'apres la premier question (1-a)(1-b)<=((1+c)/2)² .
QUE: (1-a)(1-b)(1-c)<=1/2.
et merci beucoup d'avance a tous et surtout becirj.
(vite svp)
par becirj » 18 Nov 2005, 20:39
On part de l'inégalité précédente et on multiplie par (1-c)>0 :
(1-b)(1-c)\leq (\frac{1+c}{2})^2(1-c))
Le second membre peut encore s'écrire^2(1-c))
^2(1-c)=(1+c)(1+c)(1-c)=(1+c)(1-c^2))
et 
donc (1-c^2)\leq 2)
En reprenant dans l'inégalité initiale :(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{4} \times 2 =\frac{1}{2})
Le second membre peut encore s'écrire
En reprenant dans l'inégalité initiale :
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