Trouver une equation

[Jack2006]

Bonjour, je viens de tomber sur une série d’exercices qui me posent problèmes en voici un:

les points (1, 2) et (2, 3) satisfont l'équation ax + by = 5. Quelle est cette équation.

Le problème c'est que dans les exercices corrigés il y en pas dans ce style, donc je ne peux même avoir un exemple pour m'aider.

[WillyCagnes]

bjr

les points P1(1, 2) et P2(2, 3) satisfont l'équation ax + by = 5

donc si P1(1,2) appartient à l'equation ax + by = 5
tu as
a(1) +b(2)=5

donc si P2(2,3) appartient à l'equation ax + by = 5
a(2) +b(3)=5

tu as 2 equations donc tu peux resoudre le systeme pour trouver a et b

[Jack2006]

Ok donc je dois faire:
a(1)+b(2)=5
b=(10-1a)/2a

[mathafou]

Ok donc je dois faire:
a(1)+b(2)=5
b=(10-1a)/2a

a(1)+b(2) = 5 était pour dire en mettant les facteurs entre parenthèse :
a*1 + b*2 = 5 c'est à dire écrit plus simplement a + 2b = 5

alors maintenant du revois tes calculs en jetant tes idées fausses hors de ta tête sur les histoires de "faire passer"
on ne fait pas passer
jamais

on ajoute une même quantité aux deux côtés du signe =
ou on retranche
ou on multiplie les deux côtés par une même quantité non nulle
ou on divise les deux côtés par une même quantité non nulle
c'est cela et uniquement cela les opérations qu'on peut faire avec une égalité
et cela aura comme résultat que "des trucs" vont passer de l'autre côté, certes.

mais jamais au grand jamais on ne considère que l'opération elle même c'est "faire passer"

à force de le râbacher ça finira sans doute par rentrer...

[MABYA]

Pourquoi compliquer tu as dit a(1)+b(2)=5
soit a+2b = 5
tu tires la valeur de a
a=5-2 que tu porte dans la 2 ème équation ou tu n'auras que des b
ce qui te permettra de trouver b et pas la suite a

[Jack2006]

Mais quand tu as 2x+y=5
ça fait bien y=5-2x
donc dans ce cas
a+2b=5
b=(5-a)/2
Non?

[WillyCagnes]

1)a+2b=5
2)2a+3b=5

tu soustrais ligne 2) -1) =(2a+3b) -(a+2b)=5-5=0
a+b=0
donc a=-b que je reporte dans 1)
-b+2b=5
b=5

et a=-5

[Jack2006]

Ah je vois j'étais partit directement sur le fait de faire passer de l'autre coté sans avoir soustrait, du coup ça pouvait pas marcher. Merci
Une dernière question pourquoi ils mettent comme résultat -x+y=1

[Lostounet]

Salut,

Je trouve la question un peu étrange vu que par deux points du plan on peut faire passer une seule droite.

Il te suffit donc de déterminer l'équation réduite de la droite (AB) avec:
A(1, 2)
B(2, 3)

de la forme y = mx + p
on trouve y = x + 1

:p

[zygomatique]

Salut,

Je trouve la question un peu étrange vu que par deux points du plan on peut faire passer une seule droite.

Il te suffit donc de déterminer l'équation réduite de la droite (AB) avec:
A(1, 2)
B(2, 3)

de la forme y = mx + p
on trouve y = x + 1

:p

salut

pourquoi se restreindre à une équation réduite ? .... qui peut ne pas exister ....

[Lostounet]

Comme les deux points ont des abscisses distinctes, elle existe :p
Autant en profiter non?

[zygomatique]

alors après justification ok ...

mais bon il est bien aussi de savoir manipuler des équations plus généralistes ... et les opérations (que mathafou rappelle) correctement ...

pour revenir sur l'étrangeté de l'énoncé on peut tout aussi bien y voir une équation diophantienne (éventuellement) sans interprétation géométrique ...

[mathafou]

sur le fait de faire passer de l'autre coté

je ne voudrais pas lourdement insister mais "faire passer" n'est PAS une opération.
les seules opérations sont :

on ajoute une même quantité aux deux côtés du signe =
ou on retranche
ou on multiplie les deux côtés par une même quantité non nulle
ou on divise les deux côtés par une même quantité non nulle

relis avec un oeil critique les diverses interventions ici dans lesquelles il y a des erreurs

partons de ton idée d'extraire b de a + 2b = 5
je retranche a aux deux membres : a+2b -a = 5-a que l'on n'écrit pas , mais c'est ce qu'on fait, et qui se simplifie en :
2b = 5-a
je divise par 2 les deux membres (pareil , on simplifie la fraction de tête : 2b/2 = (5-a)/2
b = (5-a)/2
parfaitement
(mais il n'y a aucune opération qui s'appellerait "faire passer" là dedans , "faire passer" est le résultat que l'on observe de ces opérations de soustraction et de division)

ensuite tu reportes b dans l'autre équation et tu obtiens une équation en a seulement
au final a=-5 et b = 5 post de WillyCagne donc l'équation -5x + 5y = 5 (faut suivre sans se mélanger dans les différentes méthodes de chacun)
mais comme dit : "que de complications"

ici au lieu d'extraire b de a + 2b = 5, il est tout de même plus logique d'extraire a !! vu que c'est "tout extrait" :
en retranchant 2b aux deux membres
a = 5 - 2b

que je substitues dans l'autre pour obtenir une équation en b seulement

ou bien tu utilises la méthode de Lostounet, d'écrire simplement que la droite a pour équation y = ax+b, valable du moment que l'on sait que la droite n'est pas verticale (les point A et B n'ont pas même abscisse)

par ailleurs les équations y = x+1 et -x+y = 1 et -5x+5y=5 etc etc c'est la même droite (la même chose obtenue en ajoutant retranchant ou multipliant les deux membres par une même quantité)
il est d'usage d'utiliser une des formes suivantes
y = ax+b (edit : droite non verticale bien sûr, ou x = a si droite verticale)
ax + by = c dans laquelle on a "réduit" a,b,c à leur plus simple expression (en divisant les deux membres par le pgcd 5 par exemple)
ou ax + by + c = 0

PS : en relisant attentivement l'énoncé on doit utiliser la forme ax+by = 5
quand le corrigé dit -x+y=1 il est donc faux puisqu'il ne répond pas à la question de l'énoncé !!
et je plussoie qu'un tel énoncé est "étrange"...

[MABYA]

Tout à fait !
J'avais oublié le b
c'est a=5-2b
Comme tu le dis tu peux également tirer b=5-a)/2 que tu portes dans l'équation, je préfère a parce que cela évite le dénominateur 2.

[Jack2006]

Oui pardon mathafou, tu as raison et tu n'as pas à t’excuser d'insister, c'est plutôt à moi de m’excuser de ne pas t'avoir écouté la première fois, mais j'avais appris à tort à le formuler comme ça, du coup c'est un peu dur d'oublier cette habitude.

Concernant le résultat que j'ai fait le calcul de l'équation réduite de la droite et je trouve y=x-1

[Lostounet]

J'ai trouvé y = x + 1 ? Comment tu fais?

[Jack2006]

J'ai fait:
m=(yb-ya)/(xb-xa)=(3-2)/(2-1)=1
y=x+P
2=1+p
p=-1

donc
y=mx+p
y=x-1

[Lostounet]

2 = 1 + p

donc p = ...?

[Jack2006]

Ah oui petite confusion p=1
donc y = x+1
Merci

[zygomatique]

a + 2b = 5
2a + 3b = 5

a = 5 - 2b (j'ajoute -2b au deux membres pour exprimer à en fonction de b)
2(5 - 2b) + 3b = 5 (je remplace l'expression de a en fonction de b dans la deuxième équation)

a = 5 - 2b (je conserve cette égalité tant que je n'ai pas trouvé b)
10 - b = 5 (je développe et réduis)

a = 5 - 2b
b = 5 (j'ajoute b - 5 aux deux membres)

a = -5 (connaissant b je détermine a)
b = 5


il est temps d'apprendre à travailler avec rigueur et méthode :: j'ai choisi la méthode de résolution par substitution qui se prête bien ici vu le coefficient de a

... :zen: