Trouver le rang d'une matrice

par **Dante0** » 09 Oct 2012, 08:26

Bonjour,

Juste pour être sur que j'ai bien compris (ou non)

Je cherche le rang de cette matrice :

Après application de la méthode du pivot la matrice triangularisée est :

En cours on a dit que le rang était égal à 2, mais moi je ne vois pas de CL possibles entre les lignes ou les colonnes de la matrices, je dirais donc que la matrice est de rang 3 non ?

Autre question : le fait qu'il n'y ait pas de 0 sur la diagonale principale est-il suffisant pour conclure que les lignes (ou colonnes) de la matrice sont linéairement indépendantes ?

Merci !

par **chan79** » 09 Oct 2012, 09:28

Dante0 a écrit:Bonjour,

Juste pour être sur que j'ai bien compris (ou non)

Je cherche le rang de cette matrice :

Après application de la méthode du pivot la matrice triangularisée est :

En cours on a dit que le rang était égal à 2, mais moi je ne vois pas de CL possibles entre les lignes ou les colonnes de la matrices, je dirais donc que la matrice est de rang 3 non ?

Autre question : le fait qu'il n'y ait pas de 0 sur la diagonale principale est-il suffisant pour conclure que les lignes (ou colonnes) de la matrice sont linéairement indépendantes ?

Merci !

salut
son déterminant est 2 donc son rang est 3

par **C.Ret** » 09 Oct 2012, 09:53

Bonjour,

Dante0 a écrit:
Je cherche le rang de cette matrice :

Effectivemetn le rang de cette matrice est bien 3 (et non 2). Il y a peut-être une erreur de recopie, il suffit parfois d'un signe oublié pour changer les choses.

En menant la reduction plus loin, on arrive à la matrice identité :

Autre question : le fait qu'il n'y ait pas de 0 sur la diagonale principale est-il suffisant pour conclure que les lignes (ou colonnes) de la matrice sont linéairement indépendantes ?

Non, car toute les colonnes entrent en considération.

Par exemple, sur la ligne 2 (L2) de cette matrice il y a bien un zero sur la diagonale principale, mais elle dépend des deux autres ligne (elle est donnée par la somme L2 = L1 + L3 )

par **Dante0** » 09 Oct 2012, 11:21

C.Ret a écrit:Bonjour,

Effectivemetn le rang de cette matrice est bien 3 (et non 2). Il y a peut-être une erreur de recopie, il suffit parfois d'un signe oublié pour changer les choses.

En menant la reduction plus loin, on arrive à la matrice identité :

Non, car toute les colonnes entrent en considération.

Par exemple, sur la ligne 2 (L2) de cette matrice il y a bien un zero sur la diagonale principale, mais elle dépend des deux autres ligne (elle est donnée par la somme L2 = L1 + L3 )

Tiens je suis curieux comment es-tu arrivé à la matrice identité ?
Quid d'une matrice triangularisée ? Le fait qu'il y'a un 0 sur sa diagonale principale veut clairement dire que les colonnes sont linéairement dépendantes non ?

chan79 a écrit:salut
son déterminant est 2 donc son rang est 3

Pas encore étudié la notion de déterminant.

par **C.Ret** » 09 Oct 2012, 12:41

Dante0 a écrit:Tiens je suis curieux comment es-tu arrivé à la matrice identité ?

En utilisant des Pivot de gauss :

Quid d'une matrice triangularisée ? Le fait qu'il y'a un 0 sur sa diagonale principale veut clairement dire que les colonnes sont linéairement dépendantes non ?

Sur une matrice triangularisé, pas nécessairement :

Je suis pas sûr d'avoir bien compris la question en fait.
Quelles colonnes ?

par **Dante0** » 09 Oct 2012, 16:35

C.Ret a écrit:En utilisant des Pivot de gauss :

Sur une matrice triangularisé, pas nécessairement :

Je suis pas sûr d'avoir bien compris la question en fait.
Quelles colonnes ?

Une propriété de mon cours dit que : "si l'un des termes situés sur la diagonale principale d'une matrice est nul alors les colonnes de cette matrice sont linéairement dépendantes"

par **Dante0** » 10 Oct 2012, 06:02

Petit up :help: :help:

par **Dante0** » 10 Oct 2012, 17:39

Personne ? :triste:

par **sylvainc2** » 10 Oct 2012, 20:33

Pour calculer le rang, on fait le pivot de Gauss sur les lignes de la matrice, et on compte le nombre de lignes qui ne sont pas à zéro. Ce n'est pas suffisant que le zéro soit seulement sur la diagonale, il faut que toute la ligne soit zéro.

par **Dante0** » 11 Oct 2012, 09:22

sylvainc2 a écrit:Pour calculer le rang, on fait le pivot de Gauss sur les lignes de la matrice, et on compte le nombre de lignes qui ne sont pas à zéro. Ce n'est pas suffisant que le zéro soit seulement sur la diagonale, il faut que toute la ligne soit zéro.

Vraiment ? Pourtant mon cours dit bien que si l'un des termes situés sur la diagonale principale d'une matrice est nul alors les colonnes de cette matrice sont linéairement dépendantes.
Donc j'ai envie de savoir si je peux conclure ca des que je vois un 0 sur la digonale principale ou non... :hum:

par **chan79** » 11 Oct 2012, 10:59

Dante0 a écrit:Vraiment ? Pourtant mon cours dit bien que si l'un des termes situés sur la diagonale principale d'une matrice est nul alors les colonnes de cette matrice sont linéairement dépendantes.
Donc j'ai envie de savoir si je peux conclure ca des que je vois un 0 sur la digonale principale ou non... :hum:

Tu te places dans le cas des matrices triangulaires ?

par **Dante0** » 11 Oct 2012, 11:39

chan79 a écrit:Tu te places dans le cas des matrices triangulaires ?

Oui , exact !

par **chan79** » 11 Oct 2012, 12:17

Dante0 a écrit:Oui , exact !

alors dans ce cas, tu as raison
il suffit d'un 0 sur la diagonale d'une matrice triangulaire pour qu'il y ait dépendance des colonnes

par **Dante0** » 11 Oct 2012, 12:47

chan79 a écrit:alors dans ce cas, tu as raison
il suffit d'un 0 sur la diagonale d'une matrice triangulaire pour qu'il y ait dépendance des colonnes

Comment ca se fait ?
Y'a une démonstration pour ca ?

par **sylvainc2** » 12 Oct 2012, 17:27

C'est parce que, dans le cas d'une matrice triangulaire, le produit des éléments sur la diagonale = le déterminant. S'il y a au moins un zéro sur la diagonale, alors le det=0 donc la matrice n'est pas inversible donc les colonnes (ou lignes) ne sont pas toutes indépendantes etc...

par **Dante0** » 13 Oct 2012, 07:06

sylvainc2 a écrit:C'est parce que, dans le cas d'une matrice triangulaire, le produit des éléments sur la diagonale = le déterminant. S'il y a au moins un zéro sur la diagonale, alors le det=0 donc la matrice n'est pas inversible donc les colonnes (ou lignes) ne sont pas toutes indépendantes etc...

Ok merci !

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