Trisection d'un bâton-Probabilités

[nrh152]

Bonsoir à tous,

J'ai donc un DM à rendre pour demain et je vous avoue que je sèche incroyablement sur la méthode à employer afin de résoudre l'exercice...Voici l'énoncé :

" On saisit un bâton en le pinçant au hasard en deux endroits entre le pouce et l'index et on casse. On obtient ainsi simultanément trois morceaux. Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec ces trois morceaux? "

Bien évidemment j'ai trouvé la solution via Google, mais si je fais appel à vous c'est que je préfère des explications claires à des solutions toutes faîtes et ambigües^^.
Sinon, dans ma classe beaucoup ont trouvé 1/4 sans trop savoir comment le démontrer...Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance à ceux qui pourront m'éclairer =).

[Ben314]

Bonsoir,
Je pense que tout dépend de la façon dont on modélise le "au hasard"...
Est ce que cela signifie que l'on tire au hasard et indépendement deux réels x et y entre 0 et 1 correspondant aux position des deux mains ?

[nrh152]

A priori c'est ça oui, je vois pas d'autre interprétation possible =)

Merci de ta réponse rapide.

[Ben314]

Une autre interprétation possibles (conduisant à des résultats différents je pense) serait :
je prend la première coupe 'x' au hasard dans [0,1] puis la seconde coupe 'y' au hasad dans [x,1]
et je pense qu'en cherchant un peu, je t'en trouve d'autres....
(le but de la question était surtout que l'on soit d'accord sur la modélisation)

Dans ce cas, c'est des proba "continues" donc la formule 'nombre de cas total'/'nombre de cas favorables' ne s'applique plus....
Normalement, on modélise alors en terme d'intégrale....

De façon plus naïve, tu as choisi un point (x,y) dans le carré [0,1]x[0,1] avec équiprobabilité des choix. Tu n'as plus qu'a regarder (i.e. dessiner) les (x,y) qui correspondent à un 'triangle valide' et à regarder quelle surface cela représente par rapport à la surface totale du carré.
Tu aura ainsi ta probabilité (à condition de ne pas se tromper sur le 'domaine des triangles possibles').

Essaye de voir quelle conditions on a sur x et y...

P.S. : J'ai évidement supposé que la longueur du baton était 1 pour simplifier les calculs et car cela ne change rien au résultat.

[nrh152]

Ok merci, je vois ce que tu veux dire.

Mais est-il vraiment impossible d'appliquer un univers bien défini à la résolution de ce problème ? Soit comme tu l'as justement dit une formule 'nombre de cas total'/'nombre de cas favorables'.

En fait je me dirigeais plus vers une étude des issues possibles en prenant 3 longueurs L1, L2 et L3( les longueurs de chaque segment du bâton ). J'aimerais savoir s'il est possible de résoudre ce problème en partant de ça...Je ne sais pas si je suis vraiment compréhensible mais j'aurais essayé^^'

[Ben314]

Tout d'abbord, j'ai fait le "dessin" et effectivement, je trouve bien 1/4.

Ensuite, si tu veux appliquer 'nb de cas favorable'/'nb de cas total', tu peut faire comme si le baton avait N "encoches" (uniforméments réparties) et que lorsque l'on coupe, on est obligé de couper sur une "encoche". Dans ce cas, il n'y a qu'un nombre fini de cas et on peut revenir au bon vieux "cas_favorable/cas_total". (on dit que l'on "discretise" le problème)
Si tu fait tendre N vers l'infini tu devrait trouver... 1/4

En fait, cela correspond au fait que, au lieu de considérer tout le carré, tu n'as considéré que des points "régulièrement répartis" et tu as compté combien il y en avait dans la fameuse "zone" qui marche par rapport au nombre total de points dans le carré.
Il parrait alors assez clair (??) que, lorsque N devient trés grand, compter les "points" dans la zone revient... à évaluer la surface de la zone.

[nrh152]

D'accord, mais en fait je n'arrive pas vraiment à réaliser le dessin, comment places-tu les points ?

[Ben314]

Si tu veux "modéliser" avec 3 longueurs L1,L2, L3, il faut faire attention : elles ne sont absolument pas indépendantes du tout... car tu as tout le temps L1+L2+L3=1.
Même L1 et L2 ne sont pas indépendante car, si L1>3/4 alors forcément L2<1/4... (ou alors il faut changer la modélisation de départ concernant ce que veut dire "couper au hasard le baton")

Donc avec cette modélisation, on peut évidement trouver le résultat, mais je pense qu'il faut commencer à parler de fonction de densité...

Voit tu aussi pourquoi ton L1 ne suis pas une loie uniforme ?

[Ben314]

Pour le dessin, pour des raisons évidentes (??) de symétrie, on peut se contenter d'étudier le cas yDans ce cas les 3 longueurs des morceaux de baton seront : y , x-y et 1-y.
A quelle condition trois réels peuvent ils être les trois cotés d'un triangle ?

[nrh152]

Il faut :

1-y < y +(x-y)

y< (1-y)+(x-y)

x-y < (1-y)+y

[Ben314]

Tout à fait.
et si tu trace la "zone", tu devrait voir qu'elle représente le quart de.... la moitié du carré (comme on a pris y
2 em solution : tu écrit les équations que tu obtient lorsque x

[Ben314]

Fait gaffe, j'ai écrit une c... dans ce post :

Pour le dessin, pour des raisons évidentes (??) de symétrie, on peut se contenter d'étudier le cas y<x.
Dans ce cas les 3 longueurs des morceaux de baton seront : y , x-y et 1-y.
A quelle condition trois réels peuvent ils être les trois cotés d'un triangle ?

pour la troisième longueur, c'est (évidement) 1-x (et pas 1-y...)

Donc les conditions sont :
1-x < y +(x-y)
y< (1-x)+(x-y)
x-y < (1-x)+y

[nrh152]

Ok, je vois à peu près comment je vais rédiger cela.

Merci pour tes conseils ;)

[Ben314]

Si vraiment tu veut le faire en "discret", i.e. en considérant des encoches sur le baton, c'est un peu plus long, mais c'est super bien pour voir que ca fait la même chose et que cela correspond à calculer une surface en regardant le nombre de points qu'il y a dedans avec un "maillage" trés fin....