Trigonométrie

[ludo6810]

j'ai un DM pour mardi et je n'arrive pas à démarrer cet exercice voila l'énoncé :

le but de cet exercice est de résoudre dans R l'équation : cos x + radical 3* sin x = -2.

1ère méthode :
a) Résoudre le systéme d'inconnues X = cos x et
Y= sin x: { cosx + rad.3* sinx = -2
{ cos^2x + sin^2x = 1

b) En déduire les solutions dans de l'équation: cos x + rad.3*sin x = -2


2ème méthode:
a) Démontrer que: pour tout réel x , cos x + rad.3*sin x = 2cos (x - pi/3)

b) Démontrer que: cos x + rad.3*sin x = -2 2cos (x - pi/3) = -1

c) En déduire les solutions dans R de l'équation :
cos x + rad.3*sin x = -2

Quel que soit la méthode je n'arrive pas à démarrer merci d'avance pour votre aide ! :we:

[Benjamin]

Bonjour,
Pour la première méthode, il suffit de remplacer cos(x) par X et sin(x) par Y comme on te le suggère. Tu obtiens donc 2 équations à 2 inconnues (X et Y). Une fois que tu as X et Y, tu résous cos(x)=X ET sin(x)=Y.
Quels sont les 2 équations du système d'inconnues X et Y. Quelle est la solution de ce système ?

[ludo6810]

je t'ai tout donné y a rien de plus
mais je vois pas à quoi sa va servir de remplacer cos x par X et sin x par Y sa revient au même !!

[Benjamin]

Je sais que tu m'as tout donné. Les questions, je connais les réponses !!! C'est à toi que je les posais, pour te faire avancer. J'en profite pour te dire qu'il y a une erreur d'énoncé dans la question b) de la méthode 2. C'est cos(x-PI/3)=-1 du côté droit de l'équivalence.

Tu sais résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues non ?

Si tu remplaces, tu n'auras plus de sinus et de cosinus dans tes équations, et ça, tu sais résoudre.

Par exemple, si je prends cos²(x)+sin²(x)=1, après remplacement (ça s'appelle un changement de variables en fait), tu as X²+Y²=1. Et ça, tu sais le manipuler.
Que te donne la première équation en fonction de X et Y ?
Résoud alors ce système.

[ludo6810]

a d'accord j'avais pas compris comme sa lol
bon sinon je tente de le résoudre mais je me retrouve bloquer à :

{ X + rad.3 - X*rad.3= - 2
{ Y = 1 - X

Comment je peux faire ensuite pour trouver X et Y ?

[Benjamin]

Attention, tu as fait une erreur.

X²+Y²=1, ça ne donne pas Y=1-X mais Y²=1-X².
En fait, la substitution, tu ne l'as pas fait dans le bon sens. Exprime Y en fonction de X avec la première équation et injecte dans X²+Y²=1. Tu auras alors à résoudre une équation du second degré. Calcul du discriminant ect...

[ludo6810]

okok merci donc la j'arrive à :
{Y= (-2-X)/ rad.3
{ X^2 + [(-2-X)/rad.3]^2 -1 = 0

la je le développe comment [(-2-X)/rad.3]^2 parce que sa va me donner un truk X^2 non???

[Benjamin]

Oui, on obtient bien ça.
Tu le développes comme tu développes (a+b)²=a²+b²+2ab.
Et oui, tu auras du X². C'est bien pour ça que je dis que tu auras une équation du second degré à résoudre ;)
Tu devrais savoir faire ça normalement.

[ludo6810]

ok merci
ouais je sais faire tkt
sinon je veux juste te demander avant de me lancer dans le calcul du discriminant est ce que l'on obtient bien 10X^2 - 4X +35/9 = 0 ????

[Benjamin]

Non, on n'obtient pas ça. N'oublie pas qu'il y a une racine carré. et non pas 9.
Ensuite, vérifie le développement de (-2-x)².

[ludo6810]

ok olalala aujourd'hui c'est vraiment pas mon jour lol
donc je trouve 4X^2 + 4X+ 11/3 = 0 c'est sa?

[Benjamin]

Pas d'accord pour le 11/3 à la fin. Le terme en x² et x est juste.

[ludo6810]

a oui au fait c'est 4X^2 + 4X+ 1 = 0
et ben y m'a fallu du temps !!
bon pour le calcul du discriminant je ne pense pas avoir de difficultés et pour le reste on verra après si j'y arrive tout seul

[Benjamin]

Ok, n'hésite pas à nous faire signe. Sinon, c'est bien la bonne équation :).

[ludo6810]

j'ai donc trouvé X = -1/2 et Y = -3/ 2rad.3
ensuite on me demande dans déduire les solutions dans R de cos x + radical 3* sin x = -2.

donc en fait j'ai juste a remplacer cos x par -1/2 et sinx par -3/ 2rad.3 mais pas dans cette équation sinon sa m'avance a rien?

[Benjamin]

Maintenant, il faut que tu résolves cos(x)=-1/2 ET sin(x)=-3/(2*rac(3)).
Tu peux t'aider du cercle trigo pour ça.
Quelles valeurs de x vérifient cos(x)=-1/2 ?
Quelles valeurs de x vérifient sin(x)=-3/(2*rac(3)) ?

Et enfin, quelle valeur vérifie à la fois la condition sur cosinus et sinus ?

[ludo6810]

ok donc alorts celles qui vérifient:

cos(x)=-1/2 sont 2pi/3 [2pi] et 4pi/3 [2pi]

sin(x)=-3/(2*rac(3)) sont -pi/3 [2pi] et -2pi/3[2pi]

donc au final celle qui vérifie les 2 est -2pi/3[2pi].

et sa c'est la réponse a la question b) ??? ou c'est juste la fin de la réponse à la question a) ??

[Benjamin]

C'est exactement ça. Et ça, c'est la réponse à la b).

[rene38]

Bonjour

Attention, dans IR, cette équation n'a pas une solution unique !
Pense à la périodicité des fonctions sin et cos.

[ludo6810]

d'accord ben sa va alors
mais j'ai pensé a la périodicité non en mettant modulo 2pi non???