Trigonométrie

[martha]

Bonjour a tous,

J'ai fait deux exercices de trigonométrie, mais j'ai quelques petits problèmes pour certaines questions, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît? (Pour le tableau de signes, j'ai essayé de faire de mon mieux, mais il n'est pas très clair.)

Exercice 1 :

On définit une fonction sur IR par f(x)=1+sin(x)+2cos(x).
1-Montrer que f(x+2pi)=f(x). En déduire qu’on peut restreindre l’étude à [-pi/2 ;3pi/2]
2-Montrer que le point de la courbe de f d’abscisse pi/2 est centre de symétrie de la courbe. Sur quel intervalle va t-on alors étudier f ?
3-Calculer la dérivée de f et montrer que f’(x)=-2(2sin(x)-1)(1+sin(x)) pour tout réel x.
4-En déduire les variations de f sur [-pi/2 ;pi/2]
5-Tracer la courbe de f sur [-pi/2 ; 3pi/2]

MA REPONSE :

1-On considère la fonction f(x)=1+sin(2x)+2cos(x) définie sur IR :
f(x+2pi)=1+sin(2(x+2pi)+2cos(x+2pi)
=1+2sin(x)+2cos(x)
=1+sin(2x)+2cos(x)
=f(x)
Donc f(x+2pi)=f(x)

Les fonctions cos(x) et sin(x) sont périodiques de période 2pi ce que signifie que pour tout x réel : cos(x)=cos(x+2pi)
Sin(x)=sin(x+2pi)
On peut donc en déduire que l’on peut restreindre l’étude à [-pi/2 ; 3pi/2]

2-Pour montrer que le point de la courbe de f d’abscisse pi/2 est centre de symétrie de la courbe, on utilise la formule f(a+h)+f(a-h)/2
=1+sin(2 * pi/2)+2cos(pi/2)+1+sin(2 * (-pi/2)+2cos(-pi/2)/(2)
=2+sin(pi)+cos(pi)-sin(pi)+cos(pi)/(2)
=2+2cos(pi)/(2)
=1+cos(pi)
=1-1= 0
Donc A(pi/2 ; 0) est centre de symétrie de la courbe. On étudiera alors par la suite f sur I=[-l’inf ; pi/2]U[pi/3 ; 3pi/2]

3-On considère la fonction f(x)=1+sin(2x)+2cos(x)
= u(x)+v(x)
où u et v sont deux fonctions dérivables sur IR avec u(x)=sin(2x) soit u’(x)=cos(2x) et v(x)=2cos(x) soit v’(x)=-2sin(x)

Donc f’(x)=cos(2x)-2sin(x)
=1-2sin²(x)-2sin(x)
=-2sin²(x)-2sin(x)+1
=-2(sin²(x)-sin(x))+1
=-2(2sin(x)-sin(x))+1
=-2(2sin(x)-1)(1+sin(x)) pour tout réel x.

4-Dressons le tableau de signes :

x -pi/2 -1 1/2 pi/2
-2 - - -
(2sin(x)-1) - - +
(1+sin(x)) - + +
f '(x) - + -



Sur [-pi/2; -1], f(x) est décroissante
Sur[-1, ½], f(x) est croissante
Sur [1/2 ; pi/2], f(x) est décroissante

Exercice 2:

1-Soit f la fonction définie sur IR par:
f(x)=x-sin(x)
a)Calculer f’(x) et en déduire le sens de variations de f sur IR
b)Calculer f(0) et justifier que, pour tout nombre s de IR, on a sin(x) est inférieur ou égal à x

2-Soit g la fonction définie dur IR par :
g(x)=1-x²/2-cos(x)
a)Calculer g’(x) et en déduire le sens de variations de g sur IR+
b)Calculer g(0) et justifier que , pour tout nombre x de IR, on a 1-x²/2 inférieur ou égal à cos(x)

3-Soit h la fonction définie sur IR par :
h(x)=x-x^3/6-sin(x)
a)Calculer h’(x) et en déduire le sens de variations de h sur IR+
b)Calculer h(0) et justifier que , pour tout nombre x de IR, on a x-x^3/6 inférieur ou égal à sin(x) qui est inférieur ou égal à x

4-Montrer que, pour 0 inférieur ou égal x inférieur ou égal à 0,18 rad, sin(x) environ égal à x donne un approximation de sin(x) à 10^-3 près.

MA REPONSE :

1-a) On considère la fonction f définie sur IR par :
f(x)=x-sin(x)
=u(x)-v(x)

où u et v sont deux fonctions dérivables sur IR avec u(x)=x soit u’(x)=1 et v(x)=-sin(x) soit v’(x)=-cos(x)
Donc f’(x)=1-cos(x)

Par conséquent, f’ est strictement positive sur IR sauf en 0 où elle s’annule. Ainsi f est strictement croissante sur IR.

b)On considère la fonction f(x)=x-sin(x)
Donc f(0)=0

Par conséquent, si x-sin(x) est inférieur ou égal à 0 alors sin(x) est inférieur ou égal à x.

2-a)On considère la fonction f définie sur IR par g(x)=1-x²/2-cos(x)
= u(x)-v(x)
où u et v sont deux fonctions dérivables sur IR avec u(x)=-x²/2 soit u’(x)=-2x/2= -x et v(x)=-cos(x) soit v’(x)=sin(x)
Donc g’(x)=-x+sin(x)

Par conséquent, f’ est strictement négative sur IR sauf en 0 où elle s’annule. Ainsi f est strictement décroissante sur IR+

b)On considère la fonction g(x)=1-x²/2-cos(x)
Donc g(0)=0

Par conséquent, 1-x²/2-cos(x) est inférieur ou égal à 0
Alors 1-x²/2 inférieur ou égal à cos(x)

3-a)On considère la fonction h définie sur IR par
h(x)=x-x^3/6-sin(x)
=u(x)-v(x)-g(x)
u(x)=x soit u’(x)=1
v(x)=-x^3/6 soit v’(x)=-3x²/6=-x²/2
g(x)=-sin(x) soit g’(x)=-cos(x)

Donc h’(x)=1-x²/2-cos(x)

Par conséquent, f’ est strictement négatif sur IR+. Ainsi f est strictement décroissante sur IR+.

b)On considère la fonction h(x)=x-x^3/6-sin(x)
Donc h(0)=0

Mais par contre, je ne sais pas comment faire pour justifier que, pour tout nombre x de IR, on a x-x^3/6 inférieur ou égal à sin(x) qui est inférieur ou égal à x.

4-Je n’ai aucune idée de comment résoudre cette question. Pouvez vous m’aider s’il vous plaît ?

Merci par avance!