Trigonométrie

[Hanaconda]

Bonjour à tous,

J'ai un dm se rapportant au chapitre de la trigonométrie ( que j'ai du mal à assimiler ) et je dois le rendre demain. Je galère à répondre à quelques exercices dont les énoncés sont les suivants :

1) Calculer la valeur de : A = cos(25π/3) - sin(31π/6) + tan(-37π/4)
J'ai trouvé 0.

2) Sachant que sin(3π/5) = √91/10, calculer cos(3π/5) et tan(3π/5)
Je sais qu'il faut recourir aux relations ( relation fondamentale pour le cos, et l'autre reliant cos et sin pour le tan) mais en essayant de faire cela, j'ai trouvé que cos²(3π/5) = 9/100 <=> cos(3π/5) = 3/10 ou cos(3π/5) = -3/10 je sais que cela a avoir avec les quadrants, mais je ne parviens point à l'appliquer!! Pouvez-vous me donner un coup de main ?

3) Montrer que pour tout réel x ; cos(π/3 + x)= sin(π/6 - x) et sin(7π/5-x) = sin(x-2π/5)


4) Résoudre dans l'équation : 2cos²(x) + (2-√3)cos(x) - √3 = 0

5) Résoudre dans l'équation (E) : x² - 2x + sin²(α) = 0 avec α ∈]-π/2; π/2[

6) En déduire la valeur exacte des solutions de l'équation (E) si α = π/6

Merci beaucoup !

[Tiruxa47]

Bonjour,

Première remarque ce n'est pas en cherchant au dernier moment qu'on fait du bon boulot... mais bon je vais te donner qqs indications :
1 oui
2 3/5 est compris entre 0 et 1/2 donc (3pi/5) est compris entre 0 et pi/2
C'est le premier quadrant.
3 Utiliser cos t = sin(pi/2 - t) pour tout réel t
et ensuite sin t = sin(pi - t) pour tout réel t
4 Poser X = cos x et résoudre l'équation du second degré en X obtenue
5 Calculer le discriminant et utiliser la relation entre sin et cos pour obtenir un résultat simple sachant que cos alpha est positif puisque alpha est dans ]-pi/2:pi/2[

[Pseuda]

Bonsoir,

Petite rectification : 3/5 c'est plus grand que 1/2.
3pi/5 est donc compris entre pi/2 et pi. Cela détermine le quadrant et le signe du cosinus.

[Pisigma]

5) ou

ensuite a²-b²=...

[Tiruxa47]

Euh oui merci Pseuda.... je devrais relire ce que j'écris !!

[Hanaconda]

Bonjour,

Première remarque ce n'est pas en cherchant au dernier moment qu'on fait du bon boulot... mais bon je vais te donner qqs indications :
1 oui
2 3/5 est compris entre 0 et 1/2 donc (3pi/5) est compris entre 0 et pi/2
C'est le premier quadrant.
3 Utiliser cos t = sin(pi/2 - t) pour tout réel t
et ensuite sin t = sin(pi - t) pour tout réel t
4 Poser X = cos x et résoudre l'équation du second degré en X obtenue
5 Calculer le discriminant et utiliser la relation entre sin et cos pour obtenir un résultat simple sachant que cos alpha est positif puisque alpha est dans ]-pi/2:pi/2[

Merci beaucoup !
Voici ce que j'ai pu trouver :

4) S= { π+ 2kπ ; -π+2kπ ; π/6 + 2kπ ; -π/6 + 2kπ }

5) S = { 1+cos(α) ; 1-cos(α) }

6) Valeur exacte des solutions de l'éq (E) si α=π/6 :
S = { 1+√3/2 ; 1-√3/2 }

Mais j'arrive pas à trouver la 3ème svp!!
Je bloque là : cos(π/3 )= sin(π/6) et sin(7π/5) = sin(-2π/5)
J'aimerais également savoir comment procéder pour connaître la bonne formule à utiliser SVP.

Merci encore.
Bonne soirée !

[pascal16]

cos(π/3 + x)= sin(π/6 - x)
commence par transformer le sinus en cosinus avec la formule donnée avec le pi/2


sin(7π/5-x) = sin(x-2π/5)
met toutes tes fraction en "/10"
puis on voit une formule du type pi/2 - machin et pi/2 + machin

[Hanaconda]

J'ai du mal à saisir ce que vous essayez de me faire parvenir.
Pourriez-vous me préciser davantage SVP?

[pascal16]

pour sin(7π/5-x) = sin(x-2π/5) , y a plus facile que le π/2-x, sin(x-π) = -sin(x)
sin(7π/5-x) = sin(x-2π/5)
<=> sin(7π/5-x) =- sin(x-2π/5 -π )
<=> sin(7π/5-x) =- sin(x-7π/5 )
sin(-x)=-sin(x)
<=> sin(7π/5-x) =sin(7π/5 -x )
<=> vrai
l'assertion du départ est donc toujours vraie.

cos(x) = sin(x+π/2) donc :
cos(π/3 + x)= sin(π/6 - x) <=> sin (π/3 + x + π/2) = sin(π/6 - x) <=> sin(5π/6 + x ) = sin(π/6 - x)
<=> sin ( π -(π/6 - x)) = sin(π/6 - x)
est*ce que sin( π-x) vaut sin(x) ?

[Hanaconda]

Je peux partir de ce que je suis censée prouver?
SVP aidez-moi, je comprends que dalle!!

[Tiruxa47]

Bon je reprends ce que je disais dans mon post d'avant hier
On sait que cos t = sin(pi/2 - t) pour tout réel t
Ici on a cos (pi/3+x)
Donc je remplace t (qui est quelconque dans la propriété) par pi/3+x, j'obtiens
cos(pi/3+x)= cos t = sin (pi/2-t)=sin(pi/2-(pi/3+x))=sin(pi/2-pi/3-x)=sin(3pi/6-2pi/6-x)=sin(pi/6-x)

Pour l'autre égalité tu fais la même chose avec sin(t)=sin(pi-t) pour tout réel t.

[Hanaconda]

Ah, mais je vois ! Merci énormément ! J'arrive à mieux comprendre.
Est-ce que vous pouvez me vérifier les autres réponses, si vous avez une minute, svp?
Merci encore!
Bonne journée!

[Tiruxa47]

Le reste est juste sauf que pi+2kpi ou -pi+2kpi, k dans Z, ce sont les mêmes valeurs puisque que cela correspond au même point image sur le cercle trigonométrique
Il faut donc en enlever un des deux.

[Hanaconda]

Merci beaucoup !

[pascal16]

Je peux partir de ce que je suis censée prouver?

Oui, mais la rédaction doit être bonne.
tu pars d'une égalité
tu travailles par équivalence (mes <=> )
et la fin :
_ si tu as un vérité vraie, du genre 0=0, chose toujours vraie, ça veut dire que l'égalité de départ est toujours vraie.
_ si tu as un aberration genre 0=1, chose toujours fausse, c'est que l'égalité de départ est toujours fausse
_ s'il faut des conditions pour quel'égalité finale soit vraie, elle sont aussi à reporter sur l'égalité de départ.
C'est un travail par équivalence.
Le bon vocabulaire est qu'an départ on a une assertion (une chose pas encore démontrée) , et à la fin on dit qu'elle est vraie ou pas.

On le fait implicitement avec les contraposées. Une contraposée, c'est commencer par dire que
(A implique B) <=> (non B implique non A)
On le fait avec chaque système d'équations

[Hanaconda]

Il s'agit bien de ce que l'on appelle "un raisonnement par l'absurde" ?
J'ai dû me servir d'un raisonnement du genre pour démontrer que V2 est irrationnel, ça vient de me revenir.
Merci bien.
Par ailleurs, pourriez-vous me dire comment puis-je résoudre graphiquement une inéquation de la forme : (ax+by+c)(a'x+b'y+c) =< 0 ?
On me demande de résoudre une inéq. de ce genre et je n'y arrive point !

[Tiruxa47]

Je pense que tu devrais ouvrir un autre sujet pour ce nouvel exercice.
En deux mots cela se fait graphiquement, avec les droites d'équation ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0
Elles forment des demi-plans sur lesquels les expressions indiquées (dans leur équation) gardent un signe constant.
Ensuite, règle des signes....