Trigonométrie

[diallovieux]

Bonsoir
J'ai des diffucultés à faire ces démonstrations.Pour le 1 ça fait des nuits que j'y pense .Pouvez vous m'aider sur la question 1-a; b ; c et d

EXO
Soient a, b et c trois réels tel que a+b+c=180º=pi en radian
Par exemple les réels sont les mesures en radian des angles nom oriente du triangle ABC.
1-Demontrer les relations suivants:
a) cos(a)+cos(b)+cos(c)=1+4*sin(a/2)*sin(b/2)*sin(c/2)
b) sin(a)+sin(b)+sin(c)=4*cos(a/2)*cos(b/2)*cos(c/2)
c) tan(a)+tan(b)+tan(c)=tan(a)*tan(b)*tan(c)
d) sin(2a)+sin(2b)+sin(2c)=4sin(a)sin(b)sin(c)
e) cos(a)+cos(b)+cos(c)+2cosacosbcosc=1
f) sin(a)/[sin(b)*sin(c)]=1/tan(b)+1/tan(c)
2-Soit x la mesure principale d un angle oriente
démontrer les expressions suivants
a-cos^4(x)=1/8*[cos(4x)+4cos(2x)+3]
b-sin^4(x)=1/8*[cos(4x)-4cos(2x)+3]
c-tanx=cotan(x)-2cotan(2x)

[Tiruxa]

EXO
Soient a, b et c trois réels tel que a+b+c=180º=pi en radian

a) cos(a)+cos(b)+cos(c)=1+4*sin(a/2)*sin(b/2)*sin(c/2)

J'ai un résultat qui est un peu calculatoire mais bon, faute de mieux...

Je suis parti des relations connues
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/RelQuel.htm#cosinus
La loi des cosinus permet d'exprimer le membre de gauche en fonction des cotés du triangle
La loi des demi angles fait la même chose avec le membre de gauche.
Après développement les deux expressions sont égales.

Si on appelle classiquement A, B et C les angles, a, b et c les côtés le résultat commun est :

[Tiruxa]

EXO
Soient a, b et c trois réels tel que a+b+c=180º=pi en radian

b) sin(a)+sin(b)+sin(c)=4*cos(a/2)*cos(b/2)*cos(c/2)

Voyons quelque chose de plus "trigo" pour le b, qui doit marcher aussi pour le a.

On utilise deux fois les formules de simpson (conséquences directes des formules d'addition) pour développer le membre de droite.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_trigonom%C3%A9trique#Formules_impliquant_la_.C2.AB_tangente_de_l.27arc_moiti.C3.A9_.C2.BB

4*cos(a/2)*cos(b/2)*cos(c/2) = 4*0.5*[cos(a+b)/2+cos(a-b)/2]cos(c/2)

= 2[cos((a+b)/2)cos(c/2)+cos((a-b)/2)cos(c/2)]

=2*0.5*[cos((a+b+c)/2)+cos((a+b-c)/2)+cos((a-b+c)/2)+cos((a-b-c)/2)]

Or cos((a+b+c)/2)=cos(pi/2)=0
De plus
(a+b-c)/2 et c sont complémentaires car leur somme est pi/2
donc cos((a+b-c)/2)=sin(c)
De même
cos((a-b+c)/2) = sin(b)
cos((a-b-c)/2)=cos((-a+b+c)/2)=sin(a)
ce qui permet de conclure

[Tiruxa]

EXO
Soient a, b et c trois réels tel que a+b+c=180º=pi en radian

d) sin(2a)+sin(2b)+sin(2c)=4sin(a)sin(b)sin(c)
e) cos(a)+cos(b)+cos(c)+2cosacosbcosc=1

Pour le d et le e on peut procéder de même: développement du produit par les formules de Simpson

Sans trop détailler cela donne :
4sin(a)sin(b)sin(c) =2[cos(a-b) - cos(a+b)] sinc
= 2[cos(a-b)sinc - cos(a+b)sinc]
= sin(a-b+c)+sin(c-a+b)-[sin(a+b+c)+sin(c-a-b)]

Or sin(a+b+c)=0, sin(a-b+c)=sin(2b) angles supplémentaires
sin(c-a+b) = sin(2a)
sin(c-a-b) = sin(-2c) = -sin(2c) d'où le résultat

[Tiruxa]

EXO
Soient a, b et c trois réels tel que a+b+c=180º=pi en radian
1-Demontrer les relations suivants:
c) tan(a)+tan(b)+tan(c)=tan(a)*tan(b)*tan(c)

Bon la dernière qui était demandée.
On dispose de moins de formules pour la tangente cela réduit les possibilités, je vais utiliser la formule d'addition.
En effet, (a+b) et c sont supplémentaires donc tan c = - tan(a+b)
Or


Donc











D'après la remarque initiale concernant tan c

Voilà, cela fait du bien de réviser les formules de trigo de temps en temps !!

[diallovieux]

Bonjour

En utilisant les lignes trigonométriques, la relation a+b+c=pi ainsi que les formules d'addition
et les formules traduisant la somme des sinus de 2 angles en produit c'est à dire que
sin(p)+sin(q)=2[sin(p+q)/2+cos(p-q)/2] ,j ai parvenu à démontrer certains questions
Ainsi pour la question 1-b on a:

sina+sinb+sinc=2[sin(a+b)/2*cos(a-b)/2]+sin[pi-(a+b)]
=2[sin(a+b)/2*cos(a-b)/2]+sin(a+b)
=2[sin(a+b)/2*cos(a-b)/2]+2sin(a+b)/2*cos(a+b)/2
=2sin(a+b)/2*[cos(a-b)/2+cos(a+b)/2]
=2sin(a+b)/2*[2cos(a-b+a+b)/4*cos(a-b-a-b)/4]
=4sin(pi-c)/2*cos(a/2)cos(-b/2)
= 4cos(c/2)cos(a/2)cos(b/2)
=4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2)

[diallovieux]

j'ai parvenu à répondre la question 1-a jusqua'1-c mais pour la 1-e j'ai ait oublié de métre le carré voici la bonne question
e) cos²(a)+cos²(b)+cos²(c)+2cosacosbcosc=1
pouvez vous m'aidez sur le 1-e et 1-f puis sur la question 2
Merci d'avantage