Trigonométrie : limite

par **lapras** » 12 Aoû 2007, 19:37

Bonsoir,
je dois déterminer :
lim(x*sin(1/x))
x->0
J'ai posé X = 1/x
alors
lim(x*sin(1/x)) = lim(sin(X)/X)
x->0
quand x tend vers 0, alors X tend vers l'infini, et quelque soit la valeur de x,
-1<=sin(x)<=1
donc cette limite vaut 0

Je ne suis pas sur, je demande juste confirmation et éventuellement correction ^^ :ptdr:

Bye

par **anima** » 12 Aoû 2007, 20:08

lapras a écrit:Bonsoir,
je dois déterminer :
lim(x*sin(1/x))
x->0
J'ai posé X = 1/x
alors
lim(x*sin(1/x)) = lim(sin(X)/X)
x->0
quand x tend vers 0, alors X tend vers l'infini, et quelque soit la valeur de x,
-1<=sin(x)<=1
donc cette limite vaut 0

Je ne suis pas sur, je demande juste confirmation et éventuellement correction ^^ :ptdr:

Bye

Parfaitement d'accord avec ton raisonnement.

par **Flodelarab** » 12 Aoû 2007, 20:49

D'accord sur le fond.
La forme me gène.
Ya un flou artistique malsain.
J'aurais aimé voir:

par **lapras** » 12 Aoû 2007, 21:10

Ok.
cependant, j'ai quelques difficultés sur :
lim((2x-sin(x))/sqrt(1-cos(x)))
x->0

J'ai essayé la quantité conjuguée, etc..., mais je me retrouve toujours avec un dénominateur qui tend vers 0 !! :(

par **J-R** » 12 Aoû 2007, 21:44

salut,

remarque que

par **J-R** » 12 Aoû 2007, 21:56

au plus simple tu applique le théorème de l'hospitale... ;)

bon j'y vais

a+

par **lapras** » 12 Aoû 2007, 22:46

Je ne connais pas le théorème de l'hospitale, et je ne le trouve pas sur google...
Tu peux me le citer ?

par **Babe** » 12 Aoû 2007, 23:07

tu a vu l'hospital au lycee :doh: ?

par **lapras** » 12 Aoû 2007, 23:18

Avec cet orthographe, j'ai trouvé un article sur wiki,
si ca consiste à trouver la limite du quotient des dérivées en a ,
je trouve la limite en sqrt(2) !
Est ce bon ?
Pratique ce théoreme, mais il reste à démontrer, j'essairai demain !

bye

par **Flodelarab** » 13 Aoû 2007, 01:41

J-R a écrit:remarque que

tout est dit.

Reste plus qu'à discuter de la limite en zéro par valeurs supérieures ou zéro par valeurs inférieures.

Non ?

par **Joker62** » 13 Aoû 2007, 02:22

La règle de L'hospital n'est pas au programme, alors on l'utilise pas ! :)

par **anima** » 13 Aoû 2007, 07:18

lapras a écrit:Avec cet orthographe, j'ai trouvé un article sur wiki,
si ca consiste à trouver la limite du quotient des dérivées en a ,
je trouve la limite en sqrt(2) !
Est ce bon ?
Pratique ce théoreme, mais il reste à démontrer, j'essairai demain !

bye

Le théoreme de l'hospital revient un peu a sortir le marteau-pilon pour écraser une mouche, non? De plus, il n'est pas démontrable en lycée sans avoir les outils pour (et ca m'étonnerait vraiment qu'on démontre ce théoreme en classe francaise, alors qu'ici, on se contente de l'admettre)

(Sauf si tu as entendu parler du théoreme des accroissements finis, bien entendu...)

par **emdro** » 13 Aoû 2007, 09:07

lapras a écrit:lim(x*sin(1/x))
x->0
J'ai posé X = 1/x
...

Ton raisonnement est faux: lorsque x tend vers 0, tu ne peux pas dire que X tend vers +oo. Si x est négatif, X tendra vers -oo. Il te faut donc refaire la même démonstration en -oo.

D'autre part, tu peux utiliser le théorième d'encadrement ailleurs qu'en l'infini.

Donc

si x est positif

or -x et x tendent vers 0 lorsque x tend vers 0 (!) donc

Idem à gauche de 0 car

si x est négatif.

par **lapras** » 13 Aoû 2007, 10:42

Ok emdro.
Dommage que je ne puisse pas utiliser ce théoreme, il a l'air sympa !

par **emdro** » 13 Aoû 2007, 11:43

Il n'y a aucune espèce de raison que tu te dispenses du théorème d'encadrement. Il n'est pas limité à + infini.

par **lapras** » 13 Aoû 2007, 11:46

je parlais du théorème de l'hospital

par **emdro** » 13 Aoû 2007, 12:16

C'est totalement idiot cette règle: je te l'énonce: si f(a)=0 et g(a)=0 et f'(a)/g'(a) existe, alors la limite de f(x)/g(x) en a est f'(a)/g'(a).

La démonstration est tellement immédiate, que tu peux la refaire à chaque fois. Et cela, tu as le droit (le taux de variation qui tend vers le nombre dérivé, c'est au programme du lycée):

Tu reconnais au numérateur le taux de variation de f entre a et x, qui tend donc vers f'(a); idem au dénominateur.

par **lapras** » 13 Aoû 2007, 12:20

c'est bien ce que j'avais trouvé, mais seulement si f(a) = g(a) = 0 !
je croyais que le théoreme s'appliquait sans cette condition...
Alors il n'est pas si pratique que ça.

par **emdro** » 13 Aoû 2007, 12:21

En même temps, si f(a) ou g(a) n'est pas égal à 0, il n'y a plus de forme indéterminée dans la limite!

Edit: sauf infini/infini!

par **lapras** » 13 Aoû 2007, 13:05

Oui, mais quand on tombe sur un +OO / +OO on est mal, à moins de vite trouver une astuce pour simplifier ^^

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