Trigonométrie-complexes

[maxoudu94]

Bonjour
j'aurais besoin d'aide à propos d'un exercice dont voici l'énoncé :

Soient p et q deux réels
Démontrer que e^(ip)+e^(iq)=2e^(i((p+q)/2))*cos((p-q)/2)

En vous remerciant...

[Noemi]

e^(ip) = cosp + i sinp
e^(iq) = cosq + i sinq
cosp + cosq = 2 cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)
sinp + sinq = 2 sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)

[maxoudu94]

merci beaucoup, mais comment sait-on que
cosp + cosq = 2 cos((p+q)/2)cos((p-q)/2) et
sinp + sinq = 2 sin((p+q)/2)cos((p-q)/2) ?

[Noemi]

Ce sont des formules de trigonométrie que l'on peut retrouver à partir des formules d'additions cos(a+b) et cos(a-b).

[maxoudu94]

je n'arrive pas a les retrouver

[Noemi]

Utilise :
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
et celle de sin(a+b) et sin(a-b)
avec a = (p+q)/2 et b = (p-q)/2

[maxoudu94]

je n'arrive toujours pas à résoudre le problème posé à la base.

[Noemi]

e^(ip) = cosp + i sinp
e^(iq) = cosq + i sinq
cosp + cosq = 2 cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)
sinp + sinq = 2 sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)
e^(ip) + e^(iq) = 2 cos((p+q)/2)cos((p-q)/2) + 2i sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)
= 2cos((p-q)/2) [cos((p+q)/2) + i sin((p+q)/2)]
= 2 cos((p+q)/2) *e^(i(p+q)/2)

[maxoudu94]

merci beaucoup