Très belle géométrie :)

[Timothé Lefebvre]

Salut tout le monde !

Je ne sais pas pour vous mais chez moi il pleut et ça me donne pas envie de sortir, alors je me penche sur de la géométrie (drôle d'idée me direz-vous, mais ça vaut toujours mieux que la PC ).
A la demande de Dinozzo13 je suis allé pêcher un exercice de géométrie dans lequel on utilise les barycentres. Voilà ce que ça donne.

Énoncé :

Soit un triangle ABC. Soient A', B' et C' les points d'intersection des bissectrices intérieures des angles , et avec les côtés BC, CA et AB et par le centre I du cercle inscrit.
Mq :

[center]

[left]Indice :

On pourra utiliser l'IAG (cf. mon précédent topic pour voir de quoi il s'agit), des barycentres, des transformations de Ravi ...
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[left]Amusez-vous bien !!

Bonne journée (de glande, pour moi !)

Tim
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[benekire2]

déjà, on démontre aisément que le centre du cercle inscrit au triangle est le barycentre de (A,a) (B,b) et (C,c) avec AB=c ; AC=b et BC=a

[Timothé Lefebvre]

Ouais, c'est du cours en fait ! Ca se démontre facilement avec le théorème de la bissectrice (tiens, comment tu le démontres celui-là ?).

[benekire2]

Lequel le mien ou le théorème de la bissectrice ?

[Timothé Lefebvre]

Utilises-tu autre chose que ce théorème pour y parvenir (ou un corollaire en fait).

[benekire2]

Ou la, non que du barycentre et du Thalès.
Pour ton exo, il faut bien décomposé les AA' avec un I ?

[Timothé Lefebvre]

Non, en fait j'ai exprimé A' en barycentre de B et C, et I en barycentre de A, B et C puis tu transformes le terme avec les coordonnées barycentriques de A, B et C.

On peut ensuite transformer l'inégalité à démontrer avec l'IAG.

[benekire2]

comment exprimer A' barycentre de B et C puisque on a pas la longueur A'B

[Timothé Lefebvre]

BC=a
AC=b
AB=c

En utilisant un corollaire du théorème de la médiane, j'ai :

A'=bar{(B,b)(C,c)}
I=bar{(A,a)(B,b)(C,c)}

Qu'obtiens-tu ici en appliquant le théorème du barycentre partiel ?

[benekire2]

BC=a
AC=b
AB=c

En utilisant un corollaire du théorème de la médiane, j'ai :

A'=bar{(B,b)(C,c)}
I=bar{(A,a)(B,b)(C,c)}

Qu'obtiens-tu ici en appliquant le théorème du barycentre partiel ?

Théorème de la médiane, pourquoi, on a des bissectrices ??
Par associativité I =bar{(A,a)(A',b+c)}

[Timothé Lefebvre]

L'énoncé parle de bissectrices !

Exprime le rapport de longueurs avec les coordonnées barycentriques des point A, B et C.

[benekire2]

L'énoncé parle de bissectrices !

Exprime le rapport de longueurs avec les coordonnées barycentriques des point A, B et C.

Oui ben c'est ca le problème, on parle de bissectrices et pas de médiane.... enfin je crois que c'est une faute de frappe,

[benekire2]

Dans quel repère se placer ? car il doit être orthonormal je crois ?

[Timothé Lefebvre]

Il n'y a pas de faute de frappe !

Pourquoi veux-tu définir un repère ? Ca ne semble pas indispensable ...

[benekire2]

Je suis désolé, je ne sais calculer des coordonnées barycentriques que dans un repère, j'ai jamais appris autrement .

[Timothé Lefebvre]

Nous sommes bien d'accord que ce que j'appelle les coordonnées barycentriques des points A, B et C ce sont les réels a, b et c dans A'=bar{(B,b)(C,c)} et I=bar{(A,a)(B,b)(C,c)} ainsi que dans BC=a, AC=b et AB=c !!

[benekire2]

ah, d'accord, moi je parlais de coordonnées cartésiennes.... Je re vers 17h30

[Timothé Lefebvre]

Lol, non non, ce n'est pas tout à fait pareil ;)

A toute !

[benekire2]

Retour plus tôt que prévu!!
Alors de là on devrait tiré quelque chose de l'inégalité triangulaire je pense...
Je vais donc y réfléchir, tout en faisant autre chose ( eh oui, il n'y a malheureusement pas que les maths dans la vie...)

[Timothé Lefebvre]

Hum ... Ça dépend ce que tu appelles "inégalité triangulaire" mais à première vue il y a moyen de s'en passer !