Très belle énigme à trouver 1ère S

[Anonyme]

Bonjours,

Voilà j'ai une énigme qui me prends vraiment la tête... L'énoncé est simple à comprendre mais je n'arrive pas trop bien à justifier la réponse.

Un tableau carré d'un mètre de côté est entièrement peint avec du rouge et du vert (couleurs qui ne sont pas du tout mélangées). Pourquoi suis-je certain qu'il existe deux points de même couleur distants exactement de cinquante centimètres ?

J'ai une petite idée. J'ai supposé un point vert P et un cercle rouge autour de ce point vert de telle sorte que le rayon soit de cinquante centimètres (du cercle rouge vers le point vert). J'en déduit alors qu'il peut y avoir deux points rouges distants de cinquante centimètres mais je n'en suis pas du tout sûr...
Pouvez-vous m'aider ? Un grand merci d'avance.

[Zweig]

Salut,

J'ai une démonstration, mais utilisant le principe des tiroirs que tu n'as pas vu en cours je suppose ... Même si ce principe est très intuitif (Si objets sont placés dans tiroirs, avec , alors au moins un tiroir contiendra au moins 2 objets), je ne sais pas si ma solution sera acceptée par ton prof ... En tout cas, la manière dont la question est posée suggère une démonstration "non rigoureuse" ...

[Imod]

Considère un triangle équilatéral de côté 50 cm et contenu dans le carré .

Imod

[Zweig]

Salut,

Soit P le centre de la pièce. Alors le cercle de centre P et de rayon 50 cm est strictement inclus dans la pièce. Quitte à échanger les couleurs, on peut toujours supposer P vert. Comme la pièce est entièrement remplie, alors la circonférence du cercle est entièrement remplie de points bleus ou verts. Supposons qu'il existe au moins un point vert P' sur la circonférence du cercle, alors PP' = 50cm. Sinon la circonférence n'est faite que de points bleus. Parmi l'ensemble de ces points, il est clair qu'il en existe deux et tels que le triangle soit équilatéral. Dans ce cas, . Dans tous les cas, nous avons montré le résultat proposé.

[Zweig]

Salut,

L'idée est d'utiliser ce principe très intuitif : si 3 objets sont placés dans 2 tiroirs, alors au moins un tiroir contiendra au moins 2 objets. Ce principe, dit principe des tiroirs, se généralise aisément à objets et tiroirs, avec , dans ce cas au moins un tiroir contiendra au moins la partie entière du nombre

Maintenant trace un triangle de côté 50 cm strictement contenu dans ce carré. Il est clair qu'un tel triangle existe. On a 3 sommets (= "objets") et 2 couleurs (="tiroirs"), donc d'après le principe ci-dessus, au moins 2 sommets sont de la même couleur, et puisque le triangle est équilatéral, alors ils sont espacés de 50cm.

[Anonyme]

Merci à vous tous, vous êtes vraiment très sympa...