Tortue torturée!

[paquito]

On dispose d'un tapis parfaitement élastique, d'une longueur de 1000 m et qui peut s'allonger infiniment, l'allongement étant homothétique. on place au début du tapis, une tortue supposée très résistante et à l'autre bout, une feuille de sala de qui sera régulièrement changée.
Pendant la journée, la tortue parcourt 100 m puis s'endort; pendant la nuit le tapis maléfique s'allonge de 100 m de façon régulière et entraînant en même temps notre tortue.
Ainsi, la 1°) journée la tortue aura parcourue 100 m dans la journée, puis 10 m la nuit et ne sera plus qu'à 990 m de son morceau de laitue.
Le processus décrit se reproduisant tous les jours, on demande si la tortue arrivera à avaler son bout de salade, et si oui au bout de combien de jours?

[XENSECP]

Il faut trouver une petite récurrence. En l'occurrence, ce qui reste à parcourir est allongé de 10% chaque nuit. Je te laisse déduire une relation entre ce qu'il reste au jour n et ce qu'il reste au jour n+1.

[Ben314]

Salut,
Notons la distance (en hectomètres) à laquelle est la tortue de son but après étapes. On a évidement .

Pour , après étapes, elle est à du but, puis :
1) Elle parcours 1 hectomètre donc se retrouve à du but.
2) Le tapis se rallonge d'un hectomètre et, plus précisément, passe de hectomètres à hectomètre, soit une multiplication de sa longueur par et la distance à laquelle la tortue est de son but subit la même multiplication ("l'allongement étant homothétique")
Conclusion : pour tout que l'on peut aussi écrire

On en déduit par une petite récurrence que, pour tout , on a

Et la question est de savoir si, pour suffisamment grand on va avoir , c'est à dire

[paquito]

Salut Ben,

J'obtiens le même résultat que toi en calculant la distance parcourue par la tortue, soit:

dn=100(10+n)Sig(k=10 à 9+n)1/k (désolé pour l'écriture, mais faudra bien que j'utilise les balises TEX un jour!)

ceci dit, on retrouve la série harmonique privée de ses 9 premiers termes, ce qui ne l'empêche pas de diverger et donc la tortue va pouvoir manger. Pour savoir quel jour ce sera, on est obligé de faire un petit programme et on trouve que ce sera le 17°jour.

[nodjim]

Je ne trouve pas ça, mais le 26 ème jour. Je m'y suis pris autrement.
Au départ abscisse tortue T=0 et abscisse Elastique E=10 (je dis que la tortue avance de 1 chaque jour et l'élastique est à 10 au départ, ce qui revient bien au même).
T=0 E=10
puis T=1, puis E=11 puis T=1*(11/10)+1=2.1... puis E=12 puis T=2.1...(12/11)+1=3.2...
Et j'arrive à E=24.6..puis T=26 puis E=24.6..(26/25)+1>26.

[chan79]

Avec un tableur
Colonne B position de la salade
Colonne A distance parcourue par la tortue (une ligne correspond à journée+nuit)
Formule pour A2: (A1+100)*B2/B1 et on recopie vers le bas
On voit qu'à la fin de la 16° nuit, il reste moins de 100 m de distance entre la tortue et la salade.
La tortue atteint la salade pendant la 17° journée

[paquito]

Black Jack en a posté un avec une pauvre limace dans le forum sur le pont de cartes. Il est vache pour la limace!

[nodjim]

Ok j'avais juste un décalage par rapport au 11 de départ...